一道中考填空壓軸題的“源”與“流”*

☉山東省東營市教育科學研究院 尚凡青

☉山東省東營市勝利第六中學 于 彬

筆者習慣于每年中考結束后將各地市的中考試題認真研究一遍，在對2017年各地中考試題的研究過程中，嘉興市中考試題的第15題（填空題的倒數第二題）引發了筆者的濃厚興趣，下面對其解法進行分析并對其“源”與“流”給出一些初步的思考，不當之處，敬請指正.

一、試題呈現

圖1

二、解法分析

視角1 規律探尋題的視角

規律探尋問題是很多地方中考的熱點題型，甚至是必考題型，此題粗看屬于規律探尋問題，題干中更是出現了“按此規律”的提示語，按此思路思考下去，此題必會完美解決.下面給出tan∠BA4C的計算過程：

過點C作CC4⊥A4B，垂足為C4（如圖2）.

設△A4BC的邊BC上的高為h，由題意得A4B·CC4=BC·h，

圖2

至此，根據前四個（只看分母，分子都為1）可以很容易發現這一組數（1、3、7、13……）的規律，但是要寫出這一組數的一個統一表達式對初中生而言還是有困難的，這組數進入高中后被稱為“二階等差數列”，下面給出兩種求其統一表達式的方法.

方法一：設這組數的統一表達式為an，即a1=1，a2=3，a3=7，……，根據題意得an=an2+bn+c，可得解得所以an=n2-n+1，即

將上述各式相加得：a2-a1+a3-a2+a4-a3+···+an-an-1=2×［1+2+3+···+（n-1）］=n（n-1），

即an-a1=an-1=n（n-1），所以an=n2-n+1，即tan∠BAnC=

很明顯上述兩種方法對初中生而言在理解上是有一定難度的，那么能否用前述計算tan∠BA4C的方法，直接求出tan∠BAnC呢？答案是肯定的.

過點C作CCn⊥AnB，垂足為Cn（如圖3）.

用同樣的方法可在△BCAn和Rt△CnCAn中得

圖3

此種方法學生可以理解，但是計算量較大，一不留神就會出錯，不過冒昧揣測的話這應該是命題人期待的一種方法.

視角2 相似三角形的視角

下面給出一種初中生可以理解的方法，而且此種方法計算量非常小，但是“思維量”很大，屬于“多思少算”的典型例題.

如圖4，構造相似的基本圖形，易得△BCAn∽△AnCDn，

所以∠BAnC=∠AnDnC，AnC2=BC·DnC，即（n-1）2+1=1×DnC，

所以DnC=n2-2n+2，所以DnEn=n2-2n+2+n-1=n2-n+1，

圖4

視角3 高中三角函數公式（兩角差的正切公式）

易得tan∠BAnEn=n，tan∠CAnEn=n-1，

三、“源”與“流”

筆者認為上述視角2的解法最為巧妙，那么這種解法是如何想到的呢？事實上，這種解法并不是“從天而降”，一方面源于學生對相似基本圖形的熟練掌握，另一方面則來源于下面這個常見的練習題：

“源”：如圖5是由三個大小相同的正方形拼成的矩形，證明△ACD∽△BAD.

圖5

結合視角1和視角3，筆者給出如下變式練習：

“流”：如圖6，把n個邊長為1的正方形拼接成一排，tan∠AnOnC=________（用含n的代數式表示）.

圖6

上述題目可以通過視角1和視角3（∠AnOnC=∠OnAnA+∠AnAOn）解決，特別地，當n=2時，即為一道中考試題，如下（圖7中虛線為添加的輔助線，對應特例情況下的一種最簡單方法）：

“源”：如圖7，在由邊長相同的小正方形組成的網格中，點A、B、C、D都在小正方形的格點處，AB、CD相交于點P，則tan∠APC=_______.

圖7

四、寫在最后

本文對2017年的一道中考填空壓軸題從三個不同的視角給出了幾種解法，有的方法可能超出了初中生的理解范圍（可以打“擦邊球”），有的方法明確超綱了（比如視角3），那么哪個視角的哪種方法是命題人所期待的呢？值得一線教師深思，更期待命題人解密.

此外，針對這道中考試題也給出了一些“源”與“流”的初步思考，說明此題是有一定的“基礎性”和“生命力”的，在考場上考生也不是“無從下手”的，越來越多的“網格類”的題目“走”進了中考考場，這需要一線教師足夠重視.F