一道初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的題源及另解

☉安徽省南陵縣春谷中學(xué) 傅昌平

☉安徽省南陵縣春谷中學(xué) 鄒守文

2014年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二有這樣一題：

通分即得（y+1）（z+1）+（x+1）（z+1）+（x+1）（y+1）=（x+1）（y+1）（z+1），

展開后整理得xyz=x+y+z+2，所以x+y+z=6.

（a+b+c）［（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2］=0.

又a，b，c不全相等，所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≠0，故a+b+c=0.

一、題源

所以原題等價(jià)于

題1是1995年江西景德鎮(zhèn)市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一題的逆向思考.

題2也曾作為1994年廣西梧州初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題.

由前面的變形，不難得到.

由原題的解題過程可以發(fā)現(xiàn)原題的本質(zhì).

題4是下面題目的逆命題：

由于現(xiàn)在的初中教材已經(jīng)刪除了立方和公式，學(xué)生對(duì)于公式a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）不太熟悉或者根本不了解，怎么辦？

通過變形，有

也可以這樣變形：

對(duì)題6的一個(gè)隱含條件題進(jìn)行變式，有下題：

題7（2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解：設(shè)x0是它們的一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則

把上面三個(gè)式子相加，并整理得

二、原題另解

即（2+y）（2+z）+（2+z）（2+x）+（2+x）（2+y）=（2+x）（2+y）（2+z），

以下同原題解答過程.

點(diǎn)評(píng)：另解1和原題的解如出一轍，可以看作是“姊妹”解法.但這里的變形技巧性更強(qiáng).

即a2（2b2+ac）（2c2+ab）+b2（2a2+bc）（2c2+ab）+c2（2a2+bc）（2b2+ac）-（2a2+bc）（2b2+ac）（2c2+ab）=0，

化簡(jiǎn)得3a2b2c2-abc（a3+b3+c3）=0.

于是有a3+b3+c3=3abc.

以下同原題解答過程.

點(diǎn)評(píng)：另解2盡管很“暴力”，但卻是一種基本的思考問題的方法，很多學(xué)生由于運(yùn)算的“暴力”而中途放棄，顯得有點(diǎn)可惜.采用這種“暴力”運(yùn)算的方法完全類似的可以證明題2.這樣我們就可以找到兩題的統(tǒng)一解法.