對一道填空壓軸題的解法探究及改編

☉浙江省寧波市海曙區(qū)龍觀中心學校 凌劍峰

原題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC.若AC=6，則四邊形ABCD的面積為______.

分析：本題是2017年陜西省中考數學試卷第14題，填空的最后一題，求不規(guī)則圖形的面積，但解法不唯一.此題著重考查了全等三角形的判定及其性質，可以通過作輔助線構造出正方形或者等腰直角三角形來達到轉化的目的，運用了模型思想，而解題的關鍵是作出有效的輔助線.

思路一：轉化成正方形

解：如圖2，作AM⊥BC交BC于M，AN⊥CD，交CD的延長線于點N.

因為∠N=∠AMC=∠BCD=90°，

所以四邊形AMCN為矩形，∠MAN=90°，

所以∠MAD+∠DAN=90°.

因為∠BAD=90°，

所以∠MAD+∠BAM=90°，

所以∠BAM=∠DAN.

又因為AB=AD，

所以△ABM≌△ADN（AAS），

所以AM=AN，S△ABM=S△ADN.

所以矩形AMCN為正方形，S四邊形ABCD=S正方形AMCN.

圖1

圖2

所以S四邊形ABCD=S正方形AMCN=（3）2=18.

思路二：轉化成等腰直角三角形

解：如圖3，過點A作AC的垂線交CD的延長線于點E，因為∠BAD=∠BCD=90°，所以∠CAB+∠CAD=90°，∠B+∠ADC=180°.

圖3

因為∠EAD+∠CAD=90°，∠EDA+∠ADC=180°，

所以∠EAD=∠CAB，∠EDA=∠B.

又因為AD=AB，

所以△EAD≌△CAB（ASA），

所以AE=AC=6，S四邊形ABCD=S△EAC，

所以△EAC是等腰直角三角形，

思路三：利用四點共圓、隱形圓

解：如圖4，連接BD.

因為∠BAD=∠BCD=90°，

所以Rt△BAD和Rt△BCD的外接圓都是以BD的中點為圓心，BD長為直徑，即A、B、C、D四點共圓，如圖作出四邊形ABCD外接圓.

因為AD=AB，

所以弧AD=弧AB，

所以∠ACD=∠ACB=45°.

作AM⊥BC交BC于點M，AN⊥CD，交CD的延長線于點N，

所以AN=AM，

所以Rt△AND≌△AMB（HL）.

后續(xù)計算過程同解法一，略.

解后反思：我們發(fā)現在原題的條件之下還有以下重要結論：①AC平分∠BCD，即∠ACD=∠ACB=45°；②S四邊形ABCD=AC2；③DC+BC=AC.所以本題屬于對一類對角互補的幾何模型的考查.

圖4

編題：已知△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，且AC=3，如圖5所示，將△DEF直角頂點D與△ABC的斜邊BC中點O重合，∠EDF繞點O旋轉，邊DE與邊AB交于點M，邊DF與邊AC交于點N.

圖5

（1）求證：OM=ON；

（3）如圖6，若將等腰Rt△ABC的AC邊長不變，AB變?yōu)?，把△DEF的直角頂點D移到Rt△ABC的斜邊BC的三等分點處，其余條件不變，請直接寫出DM∶DN的值.

圖6

圖7

解：（1）證明：如圖8，連接OA，作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，

在等腰Rt△ABC中，O為BC的中點，

所以OA平分∠BAC，

所以OG=OH.

又因為∠OGA=∠GAH=∠AHO=90°，

所以四邊形OGAH是正方形，所以∠GOH=90°，

所以∠GON+∠NOH=90°.

因為∠EDF=90°，所以∠GON+∠MOG=90°，

所以∠MOG=∠NOH.

又因為∠OGM=∠OHN=90°，

所以△OGM≌△OHN（ASA），所以OM=ON.

（2）連接MN，分OM在OG左右兩側，如圖9、10.

圖8

圖9

圖10

（3）解：①當D落在靠近B的三等分點P處時，如圖11，易證△PGM∽△PHN，所以

圖11

圖12

②當D落在靠近C的三等分點Q處時，如圖12，

編題反思：我首先利用兩個全等的等腰直角三角形編制出與模型類似的證明題，把原中考題的條件作為結論考查學生，接著通過求出動△OMN的面積，確定OM的長，再利用勾股定理求出MG的長度，在此過程中注意分類討論，AM最終有兩個值，這點考查了學生綜合分析能力；最后一問通過改變△ABC的形狀及點D的位置，著重考查相似三角形的判定和性質，比例線段及分類討論等.當然在解決最后一問的時候利用特殊位置來解題也不失為一種妙法.