研討式教學法在不定積分教學中的應用

李蘭平

摘 要 不定積分是高等數學的基礎內容，作者詳細闡述了六階段研討式教學模式在不定積分教學中的應用，并結合教學實踐交流了一些心得體會。

關鍵詞 研討式教學法 不定積分 教學模式 應用 體會

0 引言

微積分教學中，不定積分的計算是相當重要的。但是求不定積分思維方法多種多樣，學生難以靈活運用，所以，在講完不定積分計算的各種方法后，為了更注重每個學生的特點及學習情況，對學生進行個別性的指導，調動學生的學習積極性，創造一個在合作環境下進行探索，研究的機會，以小班（36人）為單位，探索了研討式教學法在不定積分教學中的應用。

研討式教學法堅持以學生為本，綜合培養學生的核心能力，科學思維和良好素質的教學理念。[1]國內多所大學的教學中已廣泛開展了研討式教學的研究和應用，獲得了積極的效果。 有些研究者分別提出了針對英語、國際貿易、衛生微生物學等課程的研討式教學法。[2-4]

但是還未見有學者將研討式教學法應用到微積分課程的教學。為此本文將參考郭漢民在文獻[5]提出的“五步”教學法以及孟凡磊等在文獻[6]中提出的“六步式”研討教學模式，提出“六步式”微積分研討式教學法。為闡述方便，本文將以不定積分教學為例說明新的教學法的實施過程。

1 “六步式”微積分研討式教學法

在這一部分，我們將重點闡述“六步式”微積分研討式教學法的具體實施過程。以不定積分教學為例，該研討式教學法需要教師和學生依照以下六個步驟共同完成教學。具體操作方法如下：

1.1 布置題目

教師講解完不定積分計算的方法：第一，直接積分法，被積函數經過整理、恒等變形后根據不定積分運算法則和積分公式求出原函數；第二，第一類換元積分法（湊微分法）；第三，第二類換元法（變量代換法）；第四，分部積分法；第五，有理函數積分法。但學生在學習完這部分內容后，會遇到相當棘手的問題，如何去選擇一個適當的方法計算其結果。由此就不定積分計算的三類基本方法，第一類換元積分法，第二類換元法，分部積分法進行深入討論研究，幫助學生掌握每類方法的精髓。

1.2 確定方案

為了讓所有學生都能參與到討論中，結合學生的情況，小班分成六個小組（每組6人），兩組各自獨立研究第一類換元積分法，兩組各自獨立研究第二類換元法，兩組各自獨立研究分部積分法。每組派一名組員介紹所研究不定積分方法的適用對象和處理方法；一名組員介紹計算時所需注意的問題；兩名組員分別引入1個典型的例題；一名組員負責回答其他組員的提問；最后一名組員歸納總結。

1.3 閱讀文獻或觀看教學視頻

第三步在課后實施。引導學生觀看慕課，數學考研視頻，或者參閱微積分精品課程，微積分習題集，微積分考研題等等。為解決文獻收集難、閱讀難和研究焦點不集中的問題，為學生挑選適合閱讀的文獻，并在文獻中標記重點閱讀的部分，并提供文獻答疑。5篇第一類換元積分法文獻，分別為：楊戀波《對不定積分湊微分法解法的再認識》；鄒小云《對不定積分換元積分法的再認識》；俞超群《不定積分中湊微分的教學探討》；高靜《第一類換元積分法（湊微分法）教學方法的初探》；張瑛，付雪豪《不定積分的湊微分法求解》。5篇第二類換元積分法文獻，分別為：景慧麗《一道不定積分題的多種解法》；吳維峰《對不定積分一題多解的分析》；陸生琪《不定積分求解技巧解析》；張麗娟，何珊珊，王福昌等《不定積分計算中一類有用的變量代換》；郭鵬云，云文在，田強等《不定積分解法研究》。5篇分部積分法文獻，分別為：何素艷，曹宏舉，萬麗英《一類不定積分的分部積分法》；陶碩，夏天《分部積分的“十字”口訣方法》；劉芳《不定積分中分部積分法的新探究》；范梅《不定積分的分部積分法探究》；上宏昌《關于不定積分的分部積分法運算技巧》。

1.4 設計實施

第四步在課外實施，每個小組建立一個QQ群或者微信群，教師參與到每個群，隨時跟進了解或指導小組成員的研究情況。關注組員在文獻閱讀中是否有疑點；研究同一內容的兩個小組是否出現了雷同的例題；例題的選取是否有典型性；難易程度是否恰當等等。

1.5 成果研討

第五步在課上實施，由教師主持，各小組成員通過PPT等工具演示和講解自己的成果。

1.5.1研究第一類換元積分法的小組成果研討

第一個學生介紹：第一類換元積分法是引入中間變量，把原來對自變量的積分變為對的積分。即

。主要適用于被積函數是復合函數的不定積分，要掌握這種方法需要熟記一些函數的微分公式。

，等等，并善于根據這些微分公式，從被積表達式中拼湊出合適的微分因子。

第二個學生闡述，用湊微分求解不定積分時，首先要認真觀察被積函數尋找導數項內容，同時為下一步積分作準備，當實在看不清被積函數的特點時，不妨從被積函數中拿出部分算式求導，嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如，拿出求導，，然后就可以找到解題思路。

第五個學生回答其他組成員的提問。第六個學生總結了湊微分法的要點是：根據被積函數的特點湊出中間變量及其微分形式，從而將積分化為推廣的積分表的形式即sin（（））（（）），……的形式，應用這種方法必須熟悉怎樣將某些函數移進微分號內。

1.5.2研究第二類換元法小組展示研討成果

第一個學生介紹第二類換元積分法主要是引入變量，把原來關于自變量的積分轉化為關于新自變量的積分，即如果積分不易計算，可設，上式變為，。第二個學生闡述，第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式，比如以下幾種無理式及對應代換方法：（1）。

第五個學生接受其他組成員的自由提問。第六個學生指出，要熟記第二類換元積分法的幾種基本類型，會用第二換元積分法去求一些不定積分。如果被積函數含有根式，考慮用第二類換元積分法。

1.5.3研究分部積分法小組展示研究成果

第一個學生介紹分部積分法公式，，主要類型為，直接分部化簡積分或者分部產生循環式，由此解出積分式。第二個學生闡述分部積分法適用于被積函數是兩個不同類型的函數乘積的不定積分。求不定積分的關鍵是要確定，由計算的經驗，可以得出以下順序“反三角，對數，冪，三角，指數”型函數，當兩種不同類型函數相乘求積分時，按以上順序，排序在前的函數作為。如，等等。第三個學生舉例，

第五個學生接受其他組員的自由提問。第六個學生分部積分計算方法歸納總結，如果要多次使用分部積分法，則注意前后的所設函數類型必須一致；即第一步選用三角函數構造，則第二次使用分部積分法時，必須也用三角函數構造；不定積分一般綜合使用換元法與分部積分法計算不定積分。

1.6 成績評定

教師和每個小組長通過量化計分法評定各組在知識點的講述，例題的選取，知識點的總結與推廣，回答自由提問等各個環節的表現，并要求每個學生就某一種極限計算方法，參照文獻中文章的格式，撰寫一篇論文。論文的成績，研究成果展示的成績，作為平時成績的一個依據。

2 小結

研討式教學法在不定積分計算中的應用，可以實現以下目標：第一，以“學生為本”的觀念，體現學生在教學活動中的主體地位；第二，每個學生參與到研討中，有助于達到最近發展區；第三，教師可以了解到學生對每種方法理解和運用的程度；第四，有助于平時成績的評定，成績評定公平化；第五，學生從文獻中學習，有助于拓寬知識面，加深對知識點的理解。

參考文獻

[1] 田管鳳.研討式教學法的應用探索[J].大學教育，2013（1）：25-26.

[2] 王旭蓮.高職院校大學英語教學中TEAM研討式教學法的探索[J].職業技術教育，2017（8）：40-42.

[3] 韓琳琳.討論式教學法在國際貿易課程教學中的應用[J].教育與職業，2013（35）：156-157.

[4] 封少龍，曹朝暉，胡小波，等.討論式教學法在衛生微生物學理論教學中的運用[J].中國病原生物學雜志，2014（7）.

[5] 郭漢民.探索研討式教學的若干思考[J].湖南師范大學社會科學學報，1999.6（2）：108-111.

[6] 孟凡磊，劉濤，崔偉成，等.理工科專業課“六步式”研討教學模式[J].高等理科教育，2015（3）：85-89.