基于深度剖析高中數(shù)學(xué)教材中習(xí)、例題的研究

何麗杰

摘 要 新視域下，通過課堂教學(xué)，學(xué)生只是理解了本節(jié)課的基礎(chǔ)知識，但要對知識熟練的掌握以及解題能力培養(yǎng)和解題策略形成方面還不夠成熟，須通過一定量的練習(xí)去實(shí)現(xiàn)。然而習(xí)題和例題在高中數(shù)學(xué)教材的所占地位是舉足輕重的，是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的重要橋梁。因此，教材中的習(xí)、例題是值得我們?nèi)ラ_發(fā)探索，深度去剖析，獲益匪淺。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 教材 習(xí)、例題拓展

1問題的提出

縱觀近幾年來的高考數(shù)學(xué)試題，乃至平時(shí)大大小小的測試題來看，總能在試題中找到課本例題或習(xí)題的蹤影。這些試題中有些直接來源于習(xí)題或例題或者經(jīng)由教材中例題、習(xí)題直接改編或者這些試題所用到的結(jié)論和方法來源于教材。

筆者在平時(shí)教學(xué)中常遇到這種情況：有些教師對教材中的習(xí)、例題講解不夠透徹，缺少對題目深度的剖析和挖掘；還有一部分教師重各類參考資料輕教材，這樣會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對教材中的定義、定理、概念以及思想方法模棱兩可，對解題方法不夠熟練，對公式的推導(dǎo)和來龍去脈了解淺顯等等，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)效率低下。

2深度剖析高中數(shù)學(xué)教材中習(xí)、例題的幾個(gè)途徑

認(rèn)真研究和分析高中數(shù)學(xué)教材習(xí)、例題，把握題目的實(shí)質(zhì)含義，并以此為主線，挖掘延伸方向的深度和廣度，可以進(jìn)行變式教學(xué)，找出得當(dāng)?shù)慕忸}的方法，也可以拓展學(xué)生思維，對教材例題進(jìn)行變式，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。下面筆者就如何深度剖析高中數(shù)學(xué)教材中習(xí)、例題拓展給出以下幾條觀點(diǎn)。

2.1活用教材中的習(xí)、例題進(jìn)行變式教學(xué)，拓展學(xué)生的思維空間

教材中對解題格式清晰直觀，教師把教材中的習(xí)、例題分析后，可以針對典型的題目進(jìn)行變式，使得學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的共性問題，以及解題策略。

例 ：（人教A版選修2-1P41例2）在圓2+2=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作X軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？

變式1：設(shè)點(diǎn)P是圓2+2=4上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0）.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程.

變式2：設(shè)點(diǎn)P是圓2+2=4上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0），若點(diǎn)M滿足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程.

上述變式問題具有一定的層次性，這樣設(shè)計(jì)既不脫離教材，又不拘泥于教材，變式等等遞進(jìn)，由淺入深的引導(dǎo)學(xué)生探討，讓學(xué)生從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識。

2.2深度剖析教材中的習(xí)、例題，可得出一些直接使用的二級結(jié)論

深度挖掘教材，我們會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)，例題和習(xí)題中的一些證明或者一些式子可以直接當(dāng)作結(jié)論直接用在解題中，這樣既能提高解題效率，更能對所學(xué)知識掌握牢固。

例 （人教版高中數(shù)學(xué)必修5P18練習(xí)3）在中，

求證a=bcosC+cosB，b=c cosA+a cosC，c=a cosB+b cosA

這幾個(gè)等式用余弦定理不難證得，因此，可以作為結(jié)論來使用，接下來筆者就此結(jié)論在高考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用舉出兩例：

（1）（14年廣東卷高考第12題）在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊是a、b、c，若b cosC+c cosB=2b，求= .

（2）（13年陜西卷高考第7題）在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊是a、b、c，如果b cosC+c cosB=asinA，則△ABC的形狀是 .

A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定

通過上述兩道題的展示，不難看出，一個(gè)結(jié)論能解一類題。因此，在課堂教學(xué)中，教師要對課本盡心認(rèn)真研究，探討出一些有價(jià)值的結(jié)論，對于快速解題起到關(guān)鍵的作用。

2.3多角度研究教材習(xí)、例題，將多個(gè)知識點(diǎn)交匯盡顯一題之中

有時(shí)候從教材的例題和例題能用多種方法去解或者去證明，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以嘗試對教材中題目進(jìn)行一題多解這樣就有多個(gè)知識點(diǎn)就會(huì)在一道題目中出現(xiàn)，使學(xué)生同時(shí)掌握多個(gè)知識點(diǎn)，進(jìn)而提升解題能力。

例：（人教版高中數(shù)學(xué)必修5P89練習(xí)2）

求證：+>+

方法（1），證明：直接平方比較大小的方法（略）。

方法（2），證明：（利用斜率）要證+>+，只需證>成立，只需證k1=>=k2成立，k1、k2分別表示點(diǎn)（5，）與（7，）、（8，）與（6，）兩點(diǎn)連線所在直線的斜率，函數(shù)f（x）=在定義域內(nèi)為增函數(shù)，且在任意一點(diǎn)處切線的斜率逐漸減小，即k1>k2，即證。

方法（3），證明：（構(gòu)造函數(shù)）基于第（2）種證明方法可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=，要證>，只需證f（5）>f（6），在定義域內(nèi)f（x）=為減函數(shù)（由單調(diào)性定義或?qū)?shù)或分子有理化都容易說明其單調(diào)性），即f（5）>f（6），故+>+。

3教學(xué)啟示

教材是最好的材料，筆者認(rèn)為，有效的課堂練習(xí)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是用“好”、用“活”課本的例題和習(xí)題。因此，教師在教學(xué)中，要深度研究教材并活用教材中的例題與習(xí)題。課本的例題和習(xí)題有豐富的內(nèi)涵和廣闊的外延，對鞏固知識、培養(yǎng)能力和解題策略的形成都具有重要的作用。能夠較好的讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中的“四基”提高學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、分析運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力。

參考文獻(xiàn)

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[2] 毋曉迪，韓道蘭.基于高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中變式教學(xué)的實(shí)踐與研究[J].教育科學(xué)，2018（12）：214.