思維可視化：學生數學思維生長的助推器

馬花

【摘要】發展學生的數學思維，是數學教學的根本任務。借助加工素材、問題驅動和深度對話，可以喚醒教材的思維可能，激活思維的內在動力和引領思維的縱深發展，讓思維真正生成。教師可以讓學生通過畫下來、動手做、說出來等方式，讓思維可視化成為學生思維生長的助推器，促進學生思維有條理、更靈活和系統化。

【關鍵詞】思維可視化；畫圖；操作；表達

古人云：“人過留名，雁過留聲。”在數學學習中，教師能否讓學生的數學思維“思過留痕”呢？即學生在課堂上對數學知識結構及對數學問題解決方法進行有效表達，可以文字表達（數學情境描述）、圖示表達（思維圖示或數學圖形）、式子表達（公式、算式、方程式、函數式等），這樣就可以留下思考的痕跡。這樣既利于學生自我反思、自我評價、自我改進和自我提升，也利于學生與其他同學的交流共享和思維碰撞，更利于教師及時采取有效措施進行有針對性的教學。實踐證明，“思維可視化”是可以提升學生數學思維品質的有效策略，也是教師進行因材施教的有效方法。

一、讓思維真正生成——思維可視化的基本前提

如果沒有思維的生成，何談思維的可視化？數學是思維的體操，也是思維的產物，但數學一旦以思維產物的形式固化下來，成為數學學習的對象時，它的存在，卻未必一定能引發學生的思維。傳統的填鴨式教學模式和機械訓練模式急功近利，直奔結果而忽略過程，教師傳輸知識的過程就是生塞硬灌，學生學習的過程中就是生吞硬咽，這樣不但違背了大腦的認知規律，而且還使學生產生了強烈的厭學情緒。

1.加工素材，喚醒教材的思維可能

我們都知道好的數學素材一定具有引發思維的可能性。那如何將可能性轉換為現實，從而引發學生的有效思維呢？我們需要對素材進行精準加工，以適應兒童心理規律與年齡特點。

例如，蘇教版三下《年、月、日》一課中，平年、閏年的知識是本節課教學的一個難點，如果教師僅僅出示幾個年份，讓學生算一算，然后告知平年和閏年的概念，從而視為數學上的一種認為規定，那么，其所內涵的思維空間便會被壓縮。稍作調整，我們不妨給學生呈現如下學習素材：電腦軟件“萬年歷”的演示，直觀、形象令學生信服；課后閱讀“小知識”作為補充，讓學生明白為什么會出現每4年里有3個平年，1個閏年。這樣一方面可以開拓學生的眼界，激發學生課下進一步探究的欲望，另一方面也喚醒了素材的思維可能，讓素材真正成為思維的引擎。

2.問題驅動，激活思維的內在動力

好的數學問題能引發學生的思維。這些問題應具有更大的思維空間，能引發學生的思維沖突，激活思維的內在動力。

例如，蘇教版教材二下《三位數加法》之后，特地安排了“加法估算”這一內容。在教學中，教師不應把估算方法直接告訴學生，而應利用學生已有知識，提出新的問題：“估計一下，買一部電話機和一個電飯煲，大約需要多少元？”“任意選購兩件商品，估計大約需要多少元？”等實際問題。此時，倘若教師能夠引導學生邊思考、邊體會，他們或許會在解題過程中自覺地想到估算。

又如，蘇教版教材三上《整十、整百數乘一位數的口算和估算》教學中，教師創設了小猴兄弟倆買水果的情境。

師：從這幅圖中你知道了哪些信息？

生：西瓜每箱48元，哈密瓜每箱62元，它倆帶了200元。

師：200元買4箱西瓜夠不夠呢？你需要先知道什么？

生：我需要知道4箱西瓜多少元？列式是48×4。

師：你能不計算出48×4的準確結果就解決這個問題嗎？

生：是不是可以用估算的辦法？（眾生思考）

師：可以試試看呀，把你準備怎么估算的思考過程寫在作業紙上……

估算是解決實際問題的常用算法。為凸顯它的應用價值，教師創設了一個可以估算的購物情境，在“帶200元買4箱西瓜夠不夠”問題的引領下，學生依據之前的學習經驗進行思考，卻發現還不會筆算“48×4”，只會口算“50×4”。在這樣的認知沖突之下，教師不失時機地提出“你能不算出準確結果就能解決問題嗎”的目標驅動，由此，學生產生估算需要，順理成章地進入到估算情境中，這樣思維也在問題驅動下得以充分激發與展開。

3.深度對話，引領思維的縱深發展

沒有思維的碰撞就沒有思維的迸射，沒有對話就沒有思維的砥礪。讓學生由自己獨立思考，形成自己的見解后，如何引導學生在分享與交流中建構意義，是推動學生思維向縱深發展的重要路徑。

生3：我舉個例子，8個人里的3個人，加上8個人里的2個人，得到8個人里的5個人。

……

此時，教師不必急于出面，而應將問題重新拋給學生——“剛才幾位同學的發言，你印象最深的是什么？”引導學生展開對話，或在比較中發現差異，或在協商中尋求共識。其實，真正的思維正是在這樣有深度、開放的對話過程中得以展開和深化的。

二、創新教學路徑——讓數學思維看得見

在教學中讓學生思維能夠看得見，就是支持學生實現自主探究式學習的一種非常有效的學習策略，運用這種策略就可以幫助學生在完成知識建構的過程中發展學生的心智水平，即實現核心素養的發展。我們需要調動學生的多重感官，參與到思維的產出、發展與表達過程中來。在運用思維可視化建構知識的過程中，用直觀的圖形、符號展現思維的條理性，在動手實踐中展現思維的靈活性，在語言表達中展現思維的系統性。

1.畫下來，讓思維條理性展現

思維是人腦對客觀事物的本質屬性和內在規律間接的、概括的反映。它是人類所具有的高級認識活動，是對新輸入信息與腦內儲存知識經驗進行一系列復雜的心智操作過程。實踐證明，化抽象為直觀，即把直觀的數學畫出可視化的直觀圖，為學生的思維提供一個形象化的支撐，將內隱的難以言傳的數學思維過程和方法個性化地呈現出來。

例如，蘇教版四下《解決問題的策略》，有這樣的一題：一個長方形菜地長40米，寬 25米，現因擴建，長和寬同時增加5米，增加的面積是多少平方米？教師引導學生用直觀圖把題意畫出來。

有了直觀圖的依托，學生很容易想到用大面積減去小面積的方法求出增加的面積這種常規解法——[40+5×（25+5）] -40×25。如果教學到此結束，顯然是不夠的，習題的作用并沒有得到充分開發。這時教師可以拋出一個問題，從而轉化學生的思維路徑：這道題除了用大面積減去小面積的方法解決，還可以用怎樣的方法呢？能不能想辦法直接求出增加的面積呢？于是就有了以下不同的方法：

生1：把增加部分的面積分成了①、②、③三塊，如下圖：

生2：把增加部分的面積分成了①、②兩塊，如下圖：

生3受直觀圖的啟發，直接把分成的①、②兩塊拼成了一個長方形，如下圖：

小小的示意圖為學生的思維打開了一條綠色通道，一方面外化并反映出學生不同的思維方法、路徑和水平，另一方面給教師了解學生現狀，進而改進教學方式做出有針對性的引導提供了可靠的技術保障。

2.動手“做”，讓思維靈活展現

數學思維不是孤立的，它往往伴隨著具體的數學活動展開。由于小學生的思維水平正處在具體運算階段，所以在教學時，教師可以通過引導學生動手“做”數學，在操作、演示、實踐過程中，“觀察”學生的思維路徑與現狀，靈活調整自己的教學，從而更好地培養和發展學生的數學思維。

在教學蘇教版一下《100以內數的加法》時，我給學生準備了15根小棒，要求學生用小棒表示出35。很顯然，這個操作具有一定的難度，學生的第一個反應就是小棒不夠，怎么能擺呢？但很快就有一些反應較快的學生想出了辦法：

生1：可以將幾個人的小棒放在一起擺出3個一捆的是30，5個一根的是5，加起來就是35。

生2：可以將一支鉛筆當作10，只需要擺3根鉛筆，然后再拿5根小棒，就擺出了35。

接下來便有更多的想法呈現出來。此時他們的思維顯然已經超越了一年級學生的應有水平，學生不知不覺學會了替換思維，這樸素的方法蘊含著對應和假設的思維萌芽，教師順勢可以組織學生進行比較，在溝通、對比中尋找最好的表達方式，并在互相學習的過程中提升自己的理解、認識與思維水平，為下一步數學探究打開了廣闊的空間。

3.說出來——讓思維系統化展現

語言是思維的外殼，借助語言我們可以讓思維展現出來。但在教學中，教師應該要克制自己說的欲望，盡可能給學生創設更多表達的機會，這樣學生能夠在對話、溝通、質疑和討論中展現、發展和提升思維。

在蘇教版二下中，學生認識鐘面的時間是一個難點，很容易認錯。尤其是接近整時或者超過整時一點的，錯誤率極高。如寫出下圖鐘面上的時間，學生就會出現如下錯誤結果：10：11、9：11、10：55、11：10、11：55。分析原因，11：10、11：55是沒分清時針和分針導致的錯誤，而10：11、9：11、10：55則是沒弄懂時針和分針行走的規律導致的錯誤。仔細分析這些錯誤，讓學生說說相應的思考過程：先找鐘面上較短的時針，時針走過幾，就是幾時多；再找鐘面上較長的分針，指向幾，走了幾×5分鐘，因此，鐘面上的時間是幾時幾分。上面的鐘面比較特殊，時針不容易判斷時，我們就先觀察分針有沒有走過12。沒有走過，那說明時針還沒有到整時；如果走過了12，那說明時針走過了整時。

學生像這樣進行數學思維，并經常說一說主要思維過程，就會發現和避免以上出現的各種錯誤。透過學生的語言表達，我們不難發現，每一種表達的背后，都隱含著某一種思路。這些，都給教師觸摸學生的思維軌跡創造了極佳的條件。

由此可見，思維可視化作為學生數學思維生長的助推器和重要學習策略，可以有效促進學生數學思維的條理性、靈活性和系統化，不斷提升學生數學思維品質，避免和減少各種數學作業錯誤，提高數學成績。思維可視化作為教師了解學生、讀懂學生和研究學生并進行因材施教的重要教學策略，具有豐富的教育意蘊和實踐價值，值得一線數學教師深入探討和研究。

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