一道高考題探究出拋物線焦點弦幾個結論

山東省聊城大學數學科學學院 (252000) 張 鑫 于興江

拋物線的焦點弦問題，一般采用韋達定理，采取設而不求.本文以2017年全國高考理科I卷第10題為例，利用幾何畫板探究了拋物線中焦點弦的幾個結論.

2017年全國高考(理)Ⅰ卷第10題：已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

我們利用幾何畫板探究得到.

定理1 已知F為拋物線C：y2=2px的焦點，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為8p.

圖1

設點A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)，E(x4,y4)，

注:2017年全國高考(理)Ⅰ卷第10題中拋物線C的方程為y2=4x，即p=2時，F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為16.

圖2

定理2 已知F為拋物線C：y2=2px的焦點，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|·|DE|的最小值為16p2.

定理3 已知F為拋物線C：y2=2px的焦點，過F的直線l交拋物線于A、B兩點，A、B兩點在拋物線準線上的射影為A1、B1，連接A1B與AB1，則A1B與AB1經過原點.

圖3

y2-2pky-p2=0.

圖4

設點A(x1,y1)，B(x2,y2),由韋達定理得，

圓錐曲線問題是高中重點數學知識，也是高考必考題之一,學生可以通過一道圓錐曲線的題目探究出圓錐曲線的一類問題,本文以探究拋物線的焦點弦問題為例，逐步培養學生的創新意識,提高探索及解決問題的能力.