“偽函數(shù)”考題的命題商榷與教學(xué)應(yīng)對
——由一道中考題說起

☉江蘇省蘇州市覓渡中學(xué) 莊 嚴(yán)

2018年中考試卷陸續(xù)出來，我們對一些地區(qū)的中考試題進行了演算、研習(xí)，發(fā)現(xiàn)了很多精彩的好題（呈現(xiàn)簡潔，方法多樣，易進難出，有數(shù)學(xué)味，很好的教學(xué)導(dǎo)向），然而還有一些地區(qū)仍然延續(xù)著一些不好的命題方向，比如在不少期刊上被批判的偽函數(shù)題、偽拋物線題.本文選取一例，解析思路，并根據(jù)個人喜好給出一些意見和教學(xué)建議，供同行批判研討.

一、考題及思路突破

考題 （2018年S省D市，第25題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-1與拋物線y=-x2+bx+c交于A，B兩點，其中A（m，0），B（4，n）.該拋物線與y軸交于點C，與x軸交于另一點D.

圖1

圖2

圖3

（1）求m，n的值及該拋物線的解析式.

（2）如圖2，若點P為線段AD上的一動點（不與A，D重合）.分別以AP、DP為斜邊，在直線AD的同側(cè)作等腰直角△APN和等腰直角△DPM，連接MN，試確定△MPN面積最大時P點的坐標(biāo).

（3）如圖3，連接BD、CD，在線段CD上是否存在點Q，使得以A，D，Q為頂點的三角形與△ABD相似，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

思路突破：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x-1可求出m=1，n=3，再把點A（1，0），B（4，3）坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c中，得方程組所以y=-x2+6x-5.

（2）由上一問已明確的拋物線解析式y(tǒng)=-x2+6x-5，令-x2+6x-5=0，解出x=1或x=5，即D（5，0），結(jié)合上一問已有的點A（1，0），接下來的問題就與拋物線無關(guān)了，刪減無關(guān)線條，如圖4，只保留△APN與△DPM，均為等腰直角三角形，AD=5-1=4.

圖4

（3）這個小問仍然與拋物線無關(guān)，刪除拋物線對問題的干擾，構(gòu)造圖5進行分析.

先分析出∠BAD=∠ADC=45°，接下來只要分兩種情況討論：

圖5

解后反思：從我們給出的思路突破來看，在第（1）問求出拋物線解析式之后，拋物線就退出后續(xù)問題的探究，反而成為干擾問題研究的無關(guān)線條，是一道偽函數(shù)圖像問題.以下就針對偽函數(shù)問題給出進一步的命題商榷與教學(xué)建議.

二、命題商榷與教學(xué)建議

第一，地區(qū)命題組使命光榮、責(zé)任重大，要關(guān)注命題研究最新進展

當(dāng)前我國中考命題多以地級市為命題單位，地市教育局具體組織命題工作，然而由于中考保密的安全責(zé)任第一的原則，各地中考命題組成員多以臨時抽調(diào)為主，缺少系統(tǒng)、專業(yè)的命題培訓(xùn).臨時組成的命題組成員（特別是命題組長）如果善于鉆研，在命題研究領(lǐng)域有自主鉆研，則還能端正命題心態(tài)，在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上主持開展好命題工作；如果眼光有限，對初中數(shù)學(xué)的理解沒有達到深刻理解的高度，則容易隨波逐流，抱著穩(wěn)字當(dāng)前的心態(tài)，以“維穩(wěn)壓倒一切”的指導(dǎo)思想，不求有功，但求無過，八股化學(xué)習(xí)模仿本地區(qū)前幾年的考查題型、考查重點.這樣下來，如果本地區(qū)歷來喜好考查所謂的偽函數(shù)綜合題，則往往又會出現(xiàn)在新一年的中考試卷中，想來這類考題的“生成”大致如此.就近五年來的命題研究進展來看，很多有識之士已對偽函數(shù)問題進行過批判和商榷，全國各地幾百套的中考試卷中，這類問題也越來越少.像上文中的一道壓軸題仍然出現(xiàn)這類偽函數(shù)考題現(xiàn)象，實在讓人遺憾.

第二，廣大備考師生要注意關(guān)注地區(qū)命題風(fēng)格，有針對性的備考

中考命題不只承擔(dān)了評價、區(qū)分與選拔功能，更重要的是還有對地區(qū)教學(xué)引領(lǐng)的重要功能.像上文這樣設(shè)計這類中考壓軸題、把關(guān)題，必然導(dǎo)向著地區(qū)新一屆畢業(yè)班的周練、月考、期中期末考、中考?？?“人在屋檐下，不得不低頭.”廣大備考師生就需要認(rèn)真研究和關(guān)注地區(qū)命題風(fēng)格與命題特點，而不是到全國其他地區(qū)盲目選題.像本地區(qū)近五年來從沒有在最后大題的位置安排所謂“新定義考題”（比如北京卷），就不宜在復(fù)習(xí)過程中大量選擇這類問題進行訓(xùn)練，即使遇到新定義考題，也要有的放矢地進行取舍.畢竟畢業(yè)年級師生的精力有限.在這個意義上說，命題對教學(xué)導(dǎo)向、對地區(qū)師生復(fù)習(xí)與教學(xué)的用力點都起著十分重要的引導(dǎo)作用.

第三，對偽函數(shù)問題教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生排除干擾，善于“目標(biāo)解析”

對于偽函數(shù)問題的教學(xué)是一個現(xiàn)實問題，因為不止是中考試卷的現(xiàn)實引導(dǎo)，各種教輔資料上更是題海戰(zhàn)術(shù)，大量的偽函數(shù)問題出現(xiàn)在教輔資料中，而且不少自媒體公眾號也對這類考題“不加選擇”地傳播，樂此不疲.這時教師在教學(xué)這類偽坐標(biāo)系考題時，要善于引導(dǎo)學(xué)生排除干擾，學(xué)會開展“目標(biāo)解析”.比如我們在上文思路解析時，幫助學(xué)生分離出來的圖4、圖5，就是一種問題突顯、目標(biāo)解析，讓學(xué)生想清此問真正的求解目標(biāo)、求解方向是什么？方向不明，切勿亂動.很多學(xué)生在面對這類較難題出錯或浪費時間的根源就是問題還沒真正讀懂，連解題的目標(biāo)沒有想清，方向走偏，對如惜時如金的考場解題來說，方向不明，不如不做.

三、基于“三個理解”提升中考命題質(zhì)量

賀信淳老師曾在文3中表達了對初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀之惑，既有對偽坐標(biāo)系的批判（比如這種考題本質(zhì)上平面直角坐標(biāo)系搭臺、平面幾何唱戲），又對這類現(xiàn)象進行了剖析，值得我們傾聽和改進.我們認(rèn)為，破解這種命題現(xiàn)象的關(guān)鍵在于落實章建躍博士提出的“三個理解”.以下就是關(guān)于“三個理解”在命題中的一些具體解讀：

因為對數(shù)學(xué)理解得不夠深刻，就容易編造出這類偽函數(shù)問題.比如，數(shù)學(xué)中引出平面直角坐標(biāo)系主要是為了研究函數(shù)圖像服務(wù)，而不是為了研究平面幾何中的一些模型或平幾中的奇異性質(zhì).想清楚這些，如果想考查相似三角形的分類討論，就可以在平幾的基礎(chǔ)圖形上進行探究，而不必與無甚關(guān)聯(lián)的函數(shù)圖像進行聯(lián)系，因為函數(shù)的本質(zhì)是研究圖像與性質(zhì)（特別是增減性）.

再有，因為對學(xué)生理解（學(xué)情理解）得不夠深刻，有些命題人員根據(jù)自己對某一道習(xí)題的鉆研成果不經(jīng)過充分論證就放置在考卷的關(guān)鍵位置，這是值得商榷的，有些習(xí)題鉆研的心得、性質(zhì)、成果，并不一定適合直接放在考卷上進行考查，因為考生整場考試要做的題很多，絕大多數(shù)考生是沒有足夠時間來挑戰(zhàn)、思考這類超難題的.

還有，如果命題人員能深刻“理解教學(xué)”，有些試題就不宜放在中考試卷中，比如解答題中有些“直接寫出答案”的設(shè)問，就是一種不當(dāng)設(shè)問，既是與解答題題型的要求矛盾，更多的是命題組也想“偷懶”，不給出參考答案和詳細(xì)過程.另外，如果命題人員認(rèn)真思考偽函數(shù)題對教學(xué)的不良導(dǎo)向，也許在命題時就會慎之又慎了吧.