對(duì)一道中考模擬題的改編、分析、思考與再編

☉南京航空航天大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué) 湯曉靜

近期，在一次中考模擬測(cè)試中，筆者對(duì)一道模擬試題進(jìn)行改編，考后受到同行和學(xué)生的一致好評(píng)，下面對(duì)整個(gè)過(guò)程（改編、分析、思考、再編）進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

一、試題呈現(xiàn)

（改編題）如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF，作EG⊥EF交邊BC于點(diǎn)G.

（1）若點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)，求EG的長(zhǎng).

（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠EFG的值.

圖1

圖2

二、改編說(shuō)明

上述試題是一道改編題，原題以坐標(biāo)系為載體，坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，邊BC、BA所在的直線分別為x軸和y軸，此時(shí)AB和BC的長(zhǎng)度以坐標(biāo)的形式給出；原題中對(duì)于“點(diǎn)F是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)”是這樣描述的：點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段CD上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t，這樣原題中的第（3）問(wèn)就是“求此時(shí)t的值”；原題中第（3）問(wèn)較難，需要分類討論，其中是這樣給出條件的：當(dāng)EH將△EGF分成的兩部分的面積之比為1∶2時(shí)，求相應(yīng)的t值.筆者認(rèn)為改編后的試題題干敘述更加簡(jiǎn)潔、設(shè)問(wèn)更加清晰；學(xué)生理解起來(lái)更加容易，做題過(guò)程中思路也更加開(kāi)闊，擺脫了平面直角坐標(biāo)系的限制，解法更加經(jīng)典、簡(jiǎn)潔，符合“好題”的命制理念和追求.

三、思路分析

第（1）問(wèn)：略（主要考查學(xué)生對(duì)中位線基本知識(shí)的掌握）.

第（2）問(wèn)：主要考查學(xué)生對(duì)“直角”問(wèn)題處理策略的靈活掌握情況，如圖3所示，容易得到△PGE∽△QEF，所以進(jìn)而tan∠EFG=.運(yùn)用此題的處理方法，可以輕松解決下面這個(gè)題目：

圖3

圖4

如圖4，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y=-、y=的圖像交于B、A兩點(diǎn)，則∠OAB大小的變化趨勢(shì)為（ ）.

A、逐漸變小 B、逐漸變大C、時(shí)大時(shí)小 D、保持不變此外，還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“四點(diǎn)共圓”的視角去理解，易得∠EFG=∠ECG，進(jìn)而解決問(wèn)題.

第（3）問(wèn)：在原題的求解過(guò)程中由于平面直角坐標(biāo)系的存在，大體思路如下：首先容易得到點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)；然后將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的比值關(guān)系，進(jìn)而求得點(diǎn)H的坐標(biāo)；最后利用待定系數(shù)法求得線段EC所在直線的方程，再將點(diǎn)H的坐標(biāo)代入，進(jìn)而解決問(wèn)題.

這里我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)幾何的角度去解決問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造相似將改編題中的轉(zhuǎn)化為（如圖5）.

圖5

設(shè)CF=t，則QF=3-t，根據(jù)第（2）問(wèn)的分析可以得到，進(jìn)而CG=PQ=EQ+EP=4+，所以KG=

四、兩點(diǎn)思考

1.注意對(duì)基本圖形的考查

通過(guò)上面的介紹可以看出，改編后的考題更加重視對(duì)初中階段基本知識(shí)和基本圖形的考查，涉及到的基本圖形主要有三角形中位線的基本圖形，相似中的“一線三等角”和“X型圖”等，當(dāng)然每一個(gè)基本圖形都對(duì)應(yīng)著初中階段的一個(gè)核心知識(shí)，應(yīng)該引起一線教師的足夠重視.

2.加大對(duì)基本思想的滲透

一線教師在教學(xué)中應(yīng)該利用典型題目，加大對(duì)基本思想的滲透.以改編題的第（2）問(wèn)為例，此處應(yīng)該滲透函數(shù)的思想，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)通過(guò)正切值的不變性是如何說(shuō)明角度不變的.在第（3）問(wèn)的求解過(guò)程中用到了一系列的轉(zhuǎn)化，首先通過(guò)添加輔助線將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)比例關(guān)系將求GK的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為求CG的長(zhǎng)度，最后將CG的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為PQ（PQ=EQ+EP）的長(zhǎng)度，將問(wèn)題一步一步解決，教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)體會(huì)如何將未知化為已知.

五、變式再編

再編1：對(duì)于此題還可以從下面的角度進(jìn)行考查：當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形EFCG面積的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出該值.

再編2：可以改變∠GEF的呈現(xiàn)形式，引入“旋轉(zhuǎn)”：∠GEF繞直角頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與邊CD、BC分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，其余條件不變.

再編3：可以改變四邊形ABCD的形狀，比如改為正方形或任意的長(zhǎng)方形.

再編4：可以改變點(diǎn)E的位置：點(diǎn)E為對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.

再編5：可以改變點(diǎn)F和點(diǎn)G的位置：在“旋轉(zhuǎn)”的背景下，可以讓點(diǎn)F和點(diǎn)G在邊CD和邊BC所在的直線上.

下面給出一例：

如圖6，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角形的頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC所在的直線相交，交點(diǎn)分別為E和F.

（2）如圖7，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜60°），求的值；

（3）如圖8，在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，60°＜α＜90°，再在AC上移動(dòng)點(diǎn)P，使的值是否變化？證明你的結(jié)論.

圖6

圖7

圖8