以形助數直觀理解，同類跟進多題歸一
——從2018年武漢中考數學第24題“網傳”解答說起

☉江蘇省江陰市璜土中學 戴春萍

各地中考試卷出來之后，很多網站都會第一時間轉發試卷及答案，特別是當某份試卷的答案率先傳播在網絡上，后續的很多網站紛紛轉發，而且“原封不動”照搬，有時第一種版本的解答出來之后，隨之跟上的轉發基本不去糾錯、審查，使得錯漏一再轉發，成為新中考試題轉發的一種亂象.網絡搜題、檢索答案的質量往往不高，與這種不負責任的轉發有一定的關聯.本文以2018年武漢卷第24題的“網傳”解答為例，談談我們該怎樣研習新中考題，如何開展“有且只有兩個點符合要求”問題的解題教學.

一、考題的“網傳”解答與“直觀”另解

考題1 （2018年湖北武漢中考卷，第24題，有刪減）拋物線L：y=-x2+2x+1.如圖1，將拋物線L向上平移m（m＞0）個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點C，過點C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點D.F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點.若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應點P的坐標.

“網傳”答案：設L1為：y=-x2+2x+t，所以m=t-1且C（0，t），D（2，t），F（1，0），設P（0，a）.

分兩種可能的相似對應情形：

圖1

由符合條件的點恰有兩個，需要再分兩種情況討論：

情況①：a2-at+2=0有兩個相等的實數根.由Δ=0，計算出t=±2，結合t＞0，所以t=2，相應的m1=2-1；

情況②：a2-at+2=0有兩個不相等的實數根，且其中一根恰滿足t=3a.

Δ＞0，將t=3a代入a2-at+2=0得：a2-3a2+2=0，

解得a=±1，結合a＞0，所以a=1，相應的t=3，m2=2.

將t=3代入a2-at+2=0得：a3=1，對應著P3（0，1）；a4=2，對應著P4（0，2）.

綜上所述：當m1=2-1時或P（0，）；當m2=2時，P（0，1）或P（0，2）.

另解展示：由于上述解法從“數”的角度抽象晦澀的運算求解，不利于更多學生的理解，下面我們給出一種更為直觀的思考與計算.

圖2

圖3

如圖2，根據光線平面鏡反射性質，取F點關于y軸對稱點F′，連接DF′交y軸于P點，則容易確認此時的點P可帶來△PCD∽△POF，即不論CD的長度如何變化，這個“光線反射點”總是存在的！此時OF對應著CD，由于它們的數量關系是CD=2OF，所以PC=2OP，此時點P是唯一確定的.

再來想另外一種對應的相似情形，即△PCD∽△FOP，這種情況屬于“一線三直角”的基本圖形，如圖3，本質上就是以DF為直徑的圓與y軸的位置關系，當該圓與y軸有公共點時，就存在∠DPF為直角，就滿足“一線三直角”.

當該圓與y軸有兩個公共點P1，P2時，如圖3，點P1，P2都是符合要求的，都能帶來△PCD∽△FOP，若再加上之前“光線反射點”，就有三個點滿足要求了，當且僅當圖3中P1，P2中有一個點恰與“光線反射點”重合，則就是符合題意的恰有兩個點符合要求.現在來分析此時點P1的坐標該如何求，可以發現△FF′P是等腰直角三角形，此時P1O=OF=1，相應的CP=2OP=2，OC=3，也就是t=3.進一步可求出此時點P的兩個坐標分別是（0，1），（0，2）.

圖4

如圖4，當以DF為直徑的圓（記⊙Q）與y軸只有一個公共點（相切狀態）時，連同之前已分析的“光線反射點”，這時也恰有兩個點P符合題意.先求得⊙Q的半徑QP2為1.5（利用梯形CDFO的中位線可得），于是可把目光投向直角三角形DFM中，直徑DF=3，MD=1，FM=t，根據勾股定理可直接讀出t=2.相應地就可求出當m=

二、同類鏈接

考題2 （摘編自南通海門2017年中考模考卷）如圖5，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處.若CD邊上有且只有2個點G，使△GPD與△GFC相似，請直接寫出的值.

圖5

圖6

解法簡述：如圖6，先分析“光線反射點”一定存在，再分析圖7中以PF為直徑的圓與邊CD的公共點情況，類似地，當該圓有兩個公共點時，其中一個公共點需要與前面圖6中的G點重合在一起.

圖7

圖8

還有一種情況，就是以PF為直徑的圓與CD恰有一個公共點（相切）時（如圖8），連同前面“光線反射點”一起也符合題意“恰有兩個點G”.在這兩種情況下可分別求出的值為或

三、教學思考

1.引導學生準備解讀關鍵詞“恰有”“有且只有”

在初中數學語言中“有且只有”比較獨特，既指出存在性，又指出唯一性.學生在初學幾何時有“經過兩點有且只有一條直線”“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”等等，學生并不陌生.但是到了中考訓練時常常出現一類“恰有兩點”“有且只有兩點”的問題，學生在幾何模型中難以找到直接轉化的方向，思路受阻.這時在解題教學的過程中就需要引導學生解讀“恰有一點”“有且只有一點”的幾何模型，學生就能想到圓與直線的位置關系中的相切，以及“光線反射點”等幾何模型，把思路遷移到問題中來，嘗試打開思路.

2.設計鋪墊式問題，直觀構圖有效破解問題難點

講評“考題1”時，如果像“網傳”解答一樣照本宣科，估計會的學生懂，不會的學生仍然是不知所云.因為“數”的解法的抽象晦澀需要有“形”的直觀解釋.這就是我們在后面給的直觀揭示，通過分解圖形，各個擊破，試圖從“形”的直觀角度來給出解釋，讓學生感受“恰有兩點”存在，這兩點恰在什么位置？讓學生看得見、算得出，當然，直觀構圖的方法也使得運算量大為簡化.如果說數形結合有三個角度：以形助數、以數馭形、數形互助，那么我們給出的分解圖形、鋪墊問題難點的方法也就應該屬于“以形助數”了.

3.善于同類跟進，“多題歸一”感悟問題結構

講一些具有獨特結構或關鍵詞的習題時，如果只有一例講評或訂正之后，如果隔一兩天再安排檢測，則效果往往不好，原因就是學生在一例練習或講評之后印象并不深刻.這時有效的方式是講評一例之后即時開展同類跟進，讓學生在“多題歸一”中鞏固、內化問題結構，達到深刻理解的程度.這也是上文中再給出一個考題2的用意所在.當然，這就要求老師在平時的解題研究中要善于開展同類搜集與歸類存檔，這樣到了講評某道習題時，就能“信手”找到，而不是習慣到網上搜題（目前網絡提供關鍵詞或拍圖檢索比較方便），但是對于問題深層結構的相似，還是需要教師自己花時間積累和整理的.