淺談線性代數的教學改革

游彌漫

線性代數作為高校最重要的數學課程之一，是學生學習部分專業課程的基礎，也是部分專業研究生入學考試的必考內容。根據筆者多年來高校數學課程的教學情況來看，學生對線性代數的學習興趣要明顯低于對高等數學、概率論與數理統計的學習興趣。隨著大數據、人工智能的發展，線性代數的應用范圍也越來越廣泛，美國著名教育家David C.Lay曾指出線性代數是最有價值的大學數學課程。課程的重要性與學生的學習興趣不高形成了嚴重的沖突。為了提高線性代數課程的教學質量，貫徹素質教育思想，筆者結合過去的教學經歷，提出以下線性代數教學改革的思考。

1 加強高水平教材的建設

教材的編寫應該以問題為導向。傳統的線性代數教材以前蘇聯教材為范本，雖然教材系統、嚴謹、系統化，但是并非以問題為導向。以矩陣的初等行變換為例，國內多數教材是先給出了矩陣初等行變換的概念、性質，最后才說明可以將矩陣的初等行變換應用于線性方程組的求解。而美國David Cherney教授編著的線性代數教材則是首先提出線性方程組的求解問題，使用高斯消元法解線性方程組，介紹高斯消元法與矩陣的初等行變換的對應關系，然后在此基礎上給出初等行變換的概念和性質。在教學過程中發現多數學生更喜歡美國教材以問題為導向的編排順序。以David Cherney教授編著的線性代數教材為例，內容的排序是：線性代數的介紹、線性方程組、向量空間、線性變換矩陣、行列式等，這與我國多數線性代數教材的順序幾乎是相反的。趙樹嫄編著的《線性代數經濟應用數學基礎》，各章的順序是：行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特征值、二次型與對稱矩陣。我們并非強調該教材一定優于國內教材，但是目前鮮有國內高校采用類似的方式進行教學探索。

部分高校采用自己編寫的新代數教材，雖然通過自編教材可以提高教師的教學水平，但是自編教材的質量，必然受到教師自身能力、水平的制約，其質量不一定好于現存的經典線性代數教材。甚至，部分出版社、教師為了經濟利益采用了低質量的教材，因此對于自編教材的使用，需要進一步權衡利弊。

加強教材網絡輔助內容的建設。目前鮮有教材在網上提供額外的練習題及解答、課件和輔助學習材料。以David Cherney教授編著的線性代數教材為例，不僅在網上提供教材的LATEX源代碼，供學生免費下載、編譯和打印，而且提供了相關的課件、課后習題答案及額外的線性代數實驗內容。課件包括兩個版本，教師授課使用的課件和學生自學使用的課件;實驗內容采用基于Python編程語言軟件包SageMath實現，因此實驗課程所使用的軟件也是開源、免費的。國內多數線性代數實驗課程多使用商業軟件MATLAB作為編程語言，軟件授權費用很高。

2 激發學生的學習興趣

考慮將數學模型思想引入教學中。數學模型是為了達到一種特殊目的，將部分現實世界數學化的模型。而數學建模而是將具體的問題轉化為數學問題的過程，借助于數學建模，可以讓純粹的數學家轉變成為物理學家、化學家等，因此，數學建模對于激發學習興趣、強化所學知識有顯著的促進作用，它直接回答了學生心中的疑問：學習數學有什么用？學習線性代數有什么用？線性代數在數學建模中的應用包括投入產出模型、人口遷移模型、基因間的距離等，通過這些模型，可以加強學生對多維線性空間、方程組解的結構等知識的理解。將數學建模思想引入線性代數教學，可以擴展學生的眼界，鍛煉學生的數學思維，但同時也會增加生學生的學習負擔，甚至干擾學生的學習。數學建模所采用的方法要和所學習的線性代數知識緊密結合，不能生搬硬套。

3 加強計算機技術在線性代數的教學中的應用

大多數線性代數教材從上世紀90年代沿用至今，沒有和現代迅速發展的計算機技術相結合，使得學生所學的知識應用受限。進入21世紀以后，隨著多媒體教學的興起，很多高校舉辦了教師的信息化培訓。和其它數學課程相比，線性代數相關的算法較為簡單，但是機械重復的運算量較大，需要大量板書。借助于多媒體教學，一些機械、重復的計算可以用PPT方便地展示，減輕了線性代數教師的教學負擔，提高了授課的效率和效果。借助于多媒體，在每一次課程結束的時候，我都給學生留下一個教材外的思考題，供學生選做。題目包括但不限于考研題、數學建模、數學競賽題，甚至是企業的面試題，提高了學生學習的興趣，同時也有助于實施分層教學。但是，由于多媒體地引入，使得教師板書減少，教師板書的過程也是學生思考的過程，這可能導致學生課堂思考的廣度和深度降低，成為多媒體信息的被動接收者，不利于深度學習。整體而言，多媒體教學利遠大于弊，顯著提高了線性代數課程的授課效果。

目前大數據、商務智能和人工智能迅速發展，要想充分、有效利用這些海量數據，線性代數是最基礎、最強有力的數學工具，因此高校教師也應該嘗試將線性代數與人工智能的發展趨勢相結合，使學生在學習線性代數的過程中能感受到學有所用，學有所成。部分高校在此方面已經做出了一些有效地嘗試，例如，在2006年，西安電子科技大學理學院開展了“工科數學實驗”選修課，在此課程中使用MATLAB軟件解決具體地數學問題，尤其是線性代數問題。隨著人工智能的發展，與其相關的開源編程語言Python、R也迅速發展，而傳統的MATLAB發展相對遲緩。除了部分專業領域MATLAB仍然具有一定優勢外，在大多數領域，Python和R都有相應軟件包，其生態環境甚至優于MATLAB。更重要提MATLAB是商業軟件，授權價格不菲，在強調知識產權保護的今天，使用開源軟件可以顯著減少高校的支出，并且讓學生所學內容更盡可能地與國際接軌。教育部考試中心已經確定在2018年9月將“Python語言程序設計”納入計算二級考試，部分高校也將會開展相關課程，在此背景下，將線性代數教學與Python語言教學相結合將是大勢所趨。目前，美國部分高校進行了較早了嘗試，例如，馬里蘭大學2013年已經開展了《Linear Algebra with Python》課程，國內高校可以借鑒其課程的教材內容、授課形式及考核方式。而R語言主要應用于統計分析，幾乎成為學術界的標準編程語言，部分期刊還要求作者附加文章的相關代碼，以驗證實驗的可重復性。將線性代數教學與R語言相結合更是可以提高學生的學術素養，為后續研究生階段的學習打下堅實的基礎。

線性代數教學改革是一個長期而且艱巨的任務，應該綜合考慮改革的措施，不能顧此失彼。學校也應該把教學改革的自主權交給任課教師，并出臺配套的激勵措施，打消教師的后顧之憂，使教師有信心、有動力進行教學改革。教學改革可能會有失敗，但教師仍應該進行大膽地嘗試，不可因噎廢食。

（作者單位：華北水利水電大學數學與統計學院）