關(guān)于高中數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的思考

☉江蘇省無錫市青山高級(jí)中學(xué) 陳 波

猜想是人們從已有認(rèn)知出發(fā)，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行觀察、比較、分析，并對(duì)收集到的感性信息展開研究，進(jìn)而為探求一種規(guī)律性的結(jié)論而進(jìn)行假設(shè)，這是一種重要且特殊的思維活動(dòng).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要關(guān)注對(duì)學(xué)生猜想能力的培養(yǎng).

一、猜想對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義

科學(xué)原理是人們進(jìn)行猜想的基礎(chǔ)，因此雖然猜想具有假定性和推斷性，但它絕不是一種胡亂的猜測，它應(yīng)該是科學(xué)與假想的一個(gè)辯證統(tǒng)一體.雖然猜想的正確性還有待于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明，但是猜想的確為人們的探索指明了可能的方向，成為人們進(jìn)一步研究和發(fā)展的動(dòng)力源泉.

就數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展而言，很多重要的命題和理論都是起始于猜想，比如被譽(yù)為“近代數(shù)學(xué)三大難題”的費(fèi)馬猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想，這些都是以猜想的形式被提出，其中費(fèi)馬猜想已經(jīng)在1994年被安德魯·懷爾斯證明，成為了費(fèi)馬大定理；四色猜想在1976年被阿佩爾與哈肯用計(jì)算機(jī)進(jìn)行了證明，遂成四色定理；哥德巴赫猜想時(shí)至今日尚未被完全證明，目前為止有關(guān)這一猜想最好的研究成果是陳景潤做出的，上個(gè)世紀(jì)的七八十年代，徐遲的報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》一文讓無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者投入到這一問題的探索之中，在全國掀起了探索數(shù)學(xué)問題的熱潮.數(shù)學(xué)猜想的魅力之大，可見一斑.

在錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題情境中，我們從已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)原理提出猜想，能在一定程度上明確探索的方向，從而將探究向前推進(jìn)一大步.在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行猜想，進(jìn)而體會(huì)這些科學(xué)思維的美妙之處.比如我們向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)理論的發(fā)展過程，讓學(xué)生從中感悟數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展歷程，同時(shí)也要讓學(xué)生從中獲取啟發(fā)與熏陶，進(jìn)而在面對(duì)數(shù)學(xué)難題時(shí)，也能以科學(xué)猜想的方式來找到探索的方向，這樣的處理顯然有助于學(xué)習(xí)效率的提升.

二、培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的教學(xué)策略

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師要研究學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，并結(jié)合具體需要來設(shè)計(jì)教學(xué)，有策略地對(duì)學(xué)生的猜想能力進(jìn)行培養(yǎng).

1.改變教學(xué)觀念，提供培育猜想的土壤

猜想應(yīng)該是最具創(chuàng)造性的一項(xiàng)科學(xué)探索活動(dòng).羅杰斯指出培養(yǎng)創(chuàng)造能力的基本條件是心理的安全和自由.對(duì)絕大數(shù)中國學(xué)生而言，“長幼尊卑”的思想一直束縛著他們的思維，在他們看來，課堂教學(xué)就應(yīng)該是教師安排、學(xué)生操作的過程，在這樣的課堂上，學(xué)生不敢進(jìn)行猜想，也不需要進(jìn)行猜想.因此，筆者認(rèn)為我們的課堂首先缺少的是培育猜想的土壤，鑒于此，我們要在教學(xué)過程中積極營造一種民主和諧的氛圍，要摒棄原有的教育思維，教師要鼓勵(lì)學(xué)生勇敢地進(jìn)行想象，要求他們不要迷信現(xiàn)有的結(jié)論，不要止步于現(xiàn)成的答案.在學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)時(shí)，教師要提供機(jī)會(huì)讓他們暢所欲言，同時(shí)教師自己也要積極傾聽學(xué)生的思路，對(duì)學(xué)生合理的猜想進(jìn)行有效的激勵(lì)，對(duì)存在的錯(cuò)誤猜想也要引導(dǎo)學(xué)生在探索中進(jìn)行糾正，對(duì)于那些不猜想的學(xué)生，教師要適當(dāng)?shù)赜枰耘u(píng)和鞭策.

教師要在數(shù)學(xué)課堂上組織學(xué)生進(jìn)行猜想，并且要讓學(xué)生將被動(dòng)的猜想轉(zhuǎn)化為一種主動(dòng)而自覺的猜想，從而讓猜想成為學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的有效手段.實(shí)踐表明，任何一項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)都應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)地參與其中，讓他們能夠?qū)⒆约旱囊娊獗磉_(dá)出來，當(dāng)學(xué)生的見解得到老師和同學(xué)的積極回應(yīng)時(shí)，他們將更加樂于參加到猜想和探索的活動(dòng)之中.

2.合理進(jìn)行評(píng)價(jià)，增強(qiáng)學(xué)生猜想的信心

關(guān)于猜想，牛頓曾經(jīng)指出：“如果沒有大膽的猜想，人們就無法獲得偉大的發(fā)現(xiàn).”誠然，當(dāng)牛頓將天體之間相互作用力的平方反比定律延伸到自然界的任何兩個(gè)物體之間，提出著名的“萬有引力定律”時(shí)，猜想在其中必然發(fā)揮了非常重要的作用.就中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，學(xué)生面對(duì)有關(guān)問題時(shí)，受限于他們自身的能力和水平，他們所提出的猜想可能會(huì)存在一定的片面性，對(duì)于學(xué)生的猜想，教師要客觀地進(jìn)行評(píng)價(jià)和分析.唯有如此，學(xué)生才樂于分析自己的猜想，并且在猜想過程中提升自己的思維水平.

比如，在指導(dǎo)學(xué)生探索“錐體的體積計(jì)算方法”時(shí)，我們不能將公式或者結(jié)論直接提供給學(xué)生，而是提出問題：“如何求解一高度為h，底面半徑等于r的圓錐體積？”在學(xué)生經(jīng)過充分思考但卻沒有提出一個(gè)基本的探索方向時(shí)，教師可以繼續(xù)進(jìn)行引導(dǎo)：“這個(gè)圓錐和高度為h、底面半徑等于r的圓柱體的體積有何關(guān)系？”在教師的啟發(fā)下，學(xué)生不但明確了猜想的方向，同時(shí)他們猜想的興趣也被激活，他們紛紛開展猜想圓錐和圓柱體積之間可能存在的關(guān)系.有的學(xué)生提出：圓錐的體積應(yīng)該是等高等底面半徑圓柱體體積的一半；也有學(xué)生指出是三分之一等等.圍繞學(xué)生所提出的猜想，教師可以采用延時(shí)判斷的策略來處理，即暫時(shí)不提供明確的判斷，而是讓學(xué)生自己在操作過程中進(jìn)行證明和驗(yàn)證.一旦學(xué)生的猜想得到證實(shí)，他們將獲取一種巨大的成就感，他們猜想的積極性也將因此而大幅提升.在學(xué)生的猜想不正確時(shí)，教師切忌對(duì)學(xué)生進(jìn)行冷嘲熱諷，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在探索過程中發(fā)現(xiàn)自己猜想中的缺陷.事實(shí)上，這里有關(guān)錐體體積的探索，那些猜測體積為圓柱體體積二分之一的學(xué)生，一旦在具體操作中發(fā)現(xiàn)自己猜想上的錯(cuò)誤時(shí)，他們也必然能夠及時(shí)地給出一個(gè)正確的結(jié)論.

在教學(xué)過程中，教師要將自己轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生中的一員，和學(xué)生在討論中一起交流自己對(duì)于問題的認(rèn)識(shí)，甚至在某些時(shí)候也可以提出一些半生不熟的猜想，甚至是一些錯(cuò)誤的猜想，以此激起學(xué)生的反駁和證偽.這樣的教學(xué)將徹底拉近師生之間的距離，他們更加樂意將自己的想法拿出來和同伴進(jìn)行討論，這樣的課堂氛圍也將更加活躍.

3.積累探索經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)筑猜想基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)研究中的猜想是一種典型的科學(xué)探索活動(dòng)，科學(xué)性應(yīng)該是猜想的第一特征，因此我們的猜想應(yīng)該建立在豐富的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)之上.學(xué)生的探索經(jīng)驗(yàn)越豐富，理論知識(shí)的積累越扎實(shí)，重組認(rèn)知的能力越強(qiáng)，則他們所提出的猜想也就更加可靠.所以當(dāng)我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)猜想能力進(jìn)行培養(yǎng)時(shí)，我們尤其要關(guān)注學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)和能力水平.

為了幫助學(xué)生構(gòu)筑猜想的基礎(chǔ)，我們要鼓勵(lì)學(xué)生多方位學(xué)習(xí)課外知識(shí)，有意識(shí)地積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，這些內(nèi)容將成為學(xué)生提出猜想的靈感源泉，在圍繞某些問題進(jìn)行探索時(shí)，這些埋藏在學(xué)生內(nèi)心深處的東西一旦被激活，學(xué)生的思維火花將被徹底點(diǎn)燃.所以，我們?cè)诮虒W(xué)中要有意識(shí)地結(jié)合學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)來設(shè)計(jì)情境，以便喚醒學(xué)生的回憶，從而讓學(xué)生能夠以更加靈活的思維展開猜想.

比如，在指導(dǎo)學(xué)生研究線面垂直時(shí)，教師就可以從校園里的旗桿著手來創(chuàng)設(shè)情境，并引導(dǎo)學(xué)生在猜想過程中構(gòu)建線面垂直的基本定義，接著教師還要提出有關(guān)判定方法的探索問題.學(xué)生的思路首先是能否圍繞定義來完成證明，但是如果要證明直線與平面上的所有直線都垂直，工作量將特別巨大，這是一件無法完成的任務(wù).這時(shí)學(xué)生就開始調(diào)整思路：是否可以減少一些證明的工作量呢？為此他們開始猜想：能否在平面上選出一些特殊的直線，只要證明現(xiàn)有直線和它們垂直，即可完成結(jié)論的證明呢？在這一方向指引下，有的學(xué)生提出：如果某直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么直線與平面垂直.面對(duì)學(xué)生所提出的猜想，教師組織學(xué)生進(jìn)行更進(jìn)一步的探索和證明，最終即可實(shí)現(xiàn)結(jié)論的總結(jié).

4.提供充足時(shí)間，提升猜想的深度

猜想是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng)，如果不想我們的學(xué)生只提出一些膚淺和胡亂的猜想，教師一定要舍得為學(xué)生留足時(shí)間，讓他們?cè)谏疃忍剿髦校@得更加豐富的感悟和體驗(yàn)，這樣所形成的猜想才會(huì)更加有深度.

比如，在講解二項(xiàng)式展開的系數(shù)能構(gòu)成“楊輝三角”時(shí)，教師提供給學(xué)生充足的時(shí)間，引導(dǎo)他們大膽猜想，學(xué)生結(jié)合觀察和思路，提出了以下幾點(diǎn)設(shè)想：

我們相信，如果學(xué)生缺乏足夠的時(shí)間進(jìn)行思考，他們的猜想肯定無法到達(dá)我們需要的深度.

綜上所述，數(shù)學(xué)教師要在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行反思和總結(jié)，要積極探索優(yōu)化教學(xué)的手段，從而讓我們的學(xué)生在課堂上學(xué)會(huì)猜想，在猜想中勇于探索，進(jìn)而獲取更大的成功.F