估算在高中數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用

☉江蘇省宜興第一中學(xué) 孫梓楠

“估算”雖然在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不為廣大教師所重視，但實(shí)際上，“估算”在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所起的作用卻是不容小覷的，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對估算價(jià)值的認(rèn)識并因此培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的估算應(yīng)用意識.

一、高中數(shù)學(xué)估算的分類

1.近似估算

觀察數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)并采取有效方法對問題中的數(shù)據(jù)適當(dāng)擴(kuò)大或縮小而實(shí)施的近似處理即為近似估算.

2.局部估算整體

面對若干元素構(gòu)成的復(fù)雜結(jié)果而采取局部研究并將結(jié)果進(jìn)行比較選答的估算方法稱作局部估算整體.

3.極限法估算

一些幾何類的選擇題或填空題往往可以運(yùn)用極限運(yùn)算進(jìn)行嘗試.

4.特例估算

對一般性問題進(jìn)行選取特例、特殊值或驗(yàn)證備選答案等即為特例估算.不過，運(yùn)用特例估算時(shí)應(yīng)根據(jù)題意與備選答案探求各備選答案之間的聯(lián)系與區(qū)別，結(jié)合特殊的數(shù)值、圖形、函數(shù)、數(shù)列等進(jìn)行檢驗(yàn)并因此獲得正確答案.

5.構(gòu)造模型估算

構(gòu)造正四面體、正方體、長方體、三角形等模型是解決很多立體幾何問題中常用的估算方法；構(gòu)造二次函數(shù)、一次函數(shù)模型是解決很多函數(shù)問題的估算方法.

6.猜想與直覺估算

在直覺的引領(lǐng)下并結(jié)合已知條件進(jìn)行估算.

7.一般規(guī)律估算

一些具體的個(gè)體情況可以采取通用的一般規(guī)律進(jìn)行估算和驗(yàn)證.

8.表象估算

根據(jù)題意在頭腦中建立相應(yīng)的表象進(jìn)行估算與驗(yàn)證.

二、高中數(shù)學(xué)中估算的運(yùn)用

1.利用教材資源實(shí)施估算教學(xué)

教材中的很多案例都隱含著一定的估算思想與方法，教師在具體教學(xué)中應(yīng)善于運(yùn)用這些案例培養(yǎng)學(xué)生的估算意識、思想與能力.

案例1：統(tǒng)計(jì)中的估算.

抽取樣本并估算總體的分布、特征以及事件在某一范圍內(nèi)的發(fā)生頻率等等都是統(tǒng)計(jì)這一范疇內(nèi)的估算.

例如，某校高三學(xué)生在高考前進(jìn)行了視力檢查，隨機(jī)抽樣其中100名學(xué)生視力情況制作成以下頻率分布直方圖（如圖1）.學(xué)校管理員不慎丟失了其中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)，不過可以知道的是后5組的頻數(shù)成等比數(shù)列，假設(shè)視力在4.6～4.9之間的學(xué)生人數(shù)是a，最大頻率是b，則a、b的值分別是______.

粗看此題總會感覺題中的條件似乎不足，不過，仔細(xì)閱讀、分析后不難發(fā)現(xiàn)：

第一組：頻率=0.5×（4.5-4.4）=0.05，頻數(shù)=0.05×100=5；

第二組：頻率=1.1×（4.6-4.5）=0.11，頻數(shù)=0.11×100=11；

第三組：暫時(shí)不知.

因?yàn)楹?組的頻數(shù)是人數(shù)，因此題中等比數(shù)列中的元素都為整數(shù)，因此其最小公比是2或3，所以后5組的頻數(shù)分布有下表中的幾種可能：

第四組 第五組 第六組 第七組 第八組1 6 8 4 2 1 3 2 1 6 8 4 2 8 1 2 7 9 3 1 1 6 2 5 4 1 8 6 2

表中最后兩行顯示的頻數(shù)和超過100明顯太大了.從直方圖中也不難估算出第七組與第八組的頻數(shù)都應(yīng)該是小于5的，第六組的頻數(shù)則應(yīng)該在5～11，第五組的頻數(shù)則應(yīng)大于11，但對照表中的數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，只有32，16，8，4，2是適合的，因此，最大頻率b=0.32，第三組：頻數(shù)是22，因此視力在4.6與4.9之間的學(xué)生人數(shù)a=70.

估算在此題的解決中無疑起到了巨大的作用，但很多學(xué)生在這方面的能力是比較欠缺的.

2.教學(xué)中滲透估算思想

教師在實(shí)際教學(xué)中不斷滲透估算思想能夠有效幫助學(xué)生形成估算的意識，只有這樣，學(xué)生才能在不斷的練習(xí)中逐步掌握估算的方法和策略.

圖2

3.培養(yǎng)學(xué)生估算意識

學(xué)生豐富的生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蚋玫貛椭鷮W(xué)生估算生活化的實(shí)際問題，因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生留意生活實(shí)際問題并從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)價(jià)值，在增強(qiáng)學(xué)生估算應(yīng)用意識的同時(shí)教會學(xué)生理性思考并因此提升估算能力，使學(xué)生對實(shí)際應(yīng)用和數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系與差異形成更好的理解與估計(jì).

4.估算中剔除錯(cuò)解

分析：根據(jù)上述兩種結(jié)果可得cosC＞0，∠C為銳角，看似沒有任何矛盾.

因此，可求sinC的值如下：

sinC=sin［π -（A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB+而這對于三角形的內(nèi)角C∈（0，π），sinC＞0恒成立是矛盾的.

題中∠B不可能為鈍角是何原因呢？怎樣幫助學(xué)生在解題中能夠主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并預(yù)防解題錯(cuò)誤呢？估算角的范圍在此處是極有價(jià)值的.

三角內(nèi)容與其它數(shù)學(xué)模塊相比公式更多、應(yīng)用更廣、方法更活且更容易出錯(cuò)，學(xué)生在三角函數(shù)問題的解決中產(chǎn)生的錯(cuò)誤往往集中在兩個(gè)方面，一個(gè)是角的范圍，還有一個(gè)就是三角函數(shù)取值區(qū)間的界定，因此，教師在三角函數(shù)的實(shí)際教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行估算來判斷解題的可靠性，學(xué)生一旦明確估算的意義便更容易在具體解決中聯(lián)想這一方法的運(yùn)用并逐步掌握估算的方法，很多三角函數(shù)相關(guān)問題的解決因?yàn)楣浪愕慕槿攵兊酶呖煽啃耘c準(zhǔn)確性，學(xué)生運(yùn)用估算檢驗(yàn)解題思路與過程的同時(shí)還能提前防范多余答案或錯(cuò)誤答案的產(chǎn)生，解題也會因此變得更加簡潔而準(zhǔn)確.

由此可見，估算思想、意識與能力的培養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中是具備重要意義的，因此，教師在具體教學(xué)中應(yīng)切實(shí)思考如何培養(yǎng)學(xué)生的估算意識與能力這一問題，在教學(xué)的準(zhǔn)備環(huán)節(jié)有意識地進(jìn)行估算教學(xué)的滲透、設(shè)計(jì)與思考，從相關(guān)數(shù)學(xué)理論知識、解題方法等各方面對學(xué)生進(jìn)行長期的熏陶與啟發(fā)，使學(xué)生在教師有意識的設(shè)計(jì)、教學(xué)與引導(dǎo)中逐步培養(yǎng)起估算意識并逐步掌握估算的方法.F