從兩道解析幾何問題談教學中“說”數學與“做”數學

☉江蘇省無錫市堰橋高級中學 陸旌霞

說數學和做數學對師生來說都不陌生，說數學泛指對數學問題解決方向的思考和嘗試，未必一定可做；做數學泛指對問題的具體嘗試，能做也未必一定能講清楚，使人接受.因此，對數學教學中的“說”與“做”，教師必須有清晰的認知，要從理論中有一定的思辨.

說數學 做數學思維性 思維廣度廣，可操作性未必能實現思維深度深，但思考角度較少操作性 操作性不強，更多是一種猜測操作性強，是對知識的實戰運用對比 優點是思維廣度、發散性思維得到了培養優點是親身經歷了對不同問題方法取舍的實戰

因此可以這么說，說數學更多的是一種“探路”，而做數學是真正的“走路”.但在說的過程中不做，是不能理解是否真的可以解決問題；反過來一味地靠直覺思維做，而沒有更深、更廣的思、說數學，很難獲得更好的思維層次，因此兩者的相輔相成是教師教學更需要關注的.

一、先說再做

說，是思維過程的語言表述形態.而思維的活躍性，往往決定了能否找出合適的方向，因此思和說成為問題解決的首要探路方向.筆者就某一問題進行了學生探索的記錄，跟讀者一起來看看.

問題1：如圖1，過x軸上一動點A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP，AQ，P、Q為切點，設切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）求證：k1k2=-4.

（2）試問：直線PQ是否經過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

分析：本題是筆者給本備課組一次組內說題比賽時選用的一道圓錐曲線題.請教師從說數學的視角首先說一說解決的可能性，然后從做一做的視角嘗試.主要是為了考查教師自身解決圓錐曲線問題的能力.

圖1

教師甲（新教師）：我從最根本的角度思考，利用相切問題判別式等于0來求解，我覺得這是最簡單的思維方式，對于第（2）問，要求定點只需要寫出直線方程即可教師乙（5年教齡）：我是想到了算兩次的想法，解析幾何中算兩次的使用非常多，本題中P、Q為切點，顯然利用了同理算兩次的原理，因此我是從這樣的斜率角度去思考教師丙（1 0年教齡）：對于第（1）問，可以從方程思想出發思考，顯然是過一個點引兩條切線，其斜率是同一方程的兩解，因此可以認為方程思想合適，第（2）問我倒是認為算兩次使用比較合理

說的僅僅是思路，接下來請教師試一試，他所說的方式到底能不能行得通？

教師丙（10年教齡）法3：（1）設過A（a，0）與拋物線y=x2+1相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為y=k（x-得x2-kx+（ka+1）=0，故Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，則k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4.

（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），故切線AP的方程是x1x+1，切線AQ的方程是.又A點在AP、AQ上，所以y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）.

二、邊做邊說

剛剛談到了先說后做，這樣的方式存在一個很明顯的問題，即萬一說的思維并不能實現，怎么辦？因此，現在說數學和做數學相比，并不是一先一后的方式，更多的是以并存的方式實現和進行的.研究一個課題教學問題2.

問題2：設A和B為圓周x2+y2=1上的兩個動點，且滿足與圓內一定點，求過點A和B的兩條切線的交點M的軌跡方程.

分析：本題是筆者改編自江西高考理14題，切點弦的考查是熱點問題，也是難點問題.請學生在不斷嘗試過程中，邊做邊說，實現問題的解決和思維的螺旋上升.考慮角度：圓方程是最為特殊的二元二次曲線，學生不難求得其切點處的切線方程；另一問，從∠ANB=可獲得等量關系，進而得到A，B坐標的關系，最終解決切點弦方程.

圖2

師：思考本題，看看怎么解決？

師：請試一試.

師：到此處，請你思考，你聯想到了什么？

生：從這個結構來說，自然是韋達定理.

師：需要跟哪些點有關的韋達定理？

生：自然是直線AB方程有關的韋達定理.

師：那么現在首先解決直線AB方程，思考：過圓C：x2+y2=r2外一點M（x0，y0）作圓的兩條切線MA、MB，求切點A、B所在直線方程？

生：這個我做好了，可以利用點的坐標進行解決.

師：這位同學的思考是非常合理的，因為用“點”去解決解析幾何問題是最為常規的方式.

生：我是這樣解決的，我想利用我最熟悉的思路，即判別式等于0表示直線和圓相切，也能得到.設A（x1，y1），B（x2，y2），切線lMA：y=k（1x-x1）+y1，聯立lMA與圓C方程得關于x的一元二次方程，由Δ=0得k=-x，得切線MA的方程

1

生：老師，我也可以用剛剛學的導數來求切線（.這位同學的做法很新鮮）設A（x1，y1），B（x2，y2），將y2=r2-x2兩邊對x求導得2yy′=-2x，于是有y′=-，所以切線MA的方程為y-y1=-（x-x1），即x1x+y1y=x12+y12=r2.同理lMB：x2x+y2y=r2.又M（x0，y0）在直線MA，MB上，則表示A（x1，y1），B（x2，y2）兩點都在直線x0x+y0y=r2上，即切點弦lAB：x0x+y0y=r2.

師：非常好！這樣我們可以對切點弦問題做一個總結了.

過圓 C：x2+y2=r2上一點 P（x0，y0）的切線方程為 x0x+y0y=r2.過圓 C：x2+y2=r2外一點 P（x0，y0）作圓的切線，切點為 A，B，則切點弦AB所在直線方程為x0x+y0y=r2.

師：用最后一位同學切點弦的思路，我們來解決原題.

總之，做數學和說數學是不可分割的，說是為了更好地做，做則實現了說的目的.筆者以為教師間也要多開展類似活動，讓說和做呈現一定的交替，從而在一定程度上實現教師教學能力的提升.F