如何找準解題思路切入點——以一道解幾模擬題的多解剖析為例

☉江蘇省常熟市中學 吳曉鵬

問題是數學的生命，數學解題思路則是生命運行的軌跡.如何運用不同的思維方法，找準問題適合的切入角度，呈現出豐富多彩的解題思路，讓學生體會到因不同的切入點而帶來的策略、技巧、效果、效率的變化，提升學生對知識體系的認識程度和關聯能力，是我們在教學中亟待解決的問題，也是數學核心素養的要求之一.本文就以2018屆江蘇省蘇錫常鎮一模第13題為例，來談一談如何找準解題思路的切入點.

【問題】（2018屆江蘇省蘇錫常鎮一模·13）已知直線l：x-y+2=0與x軸交于點A，點P在直線l上，圓C：（x-2）2+y2=2上有且僅有一個點B滿足AB⊥BP，則點P的橫坐標的取值集合為______.

圖1

分析：本題巧妙借助直線與圓之間的特殊關系，綜合直線的方程、圓的方程、垂直關系等相關的知識，以靜觀動、以動求靜，來確定對應點的坐標問題.而采用不同的切入點，對應著不同的解題方法.根據對應的圖像可知，滿足條件的P有兩個對應的點，其所確定的以AP為直徑的圓與圓C的關系分別是外切與內切.

切入點1（緊扣定義）：理解、掌握定義，并能靈活使用定義，是解題必備的技能，也是迅速找到切入點的重要手段.

思路分析1（圓與圓的位置關系法1）：先由A，P兩定點及AB⊥BP可知B點軌跡是圓作為切入點，從而確定B為兩圓唯一的公共點，利用兩圓相切來解題.

解法1：設點P的坐標為P（t，t+2）.

因為圓C上有且僅有一個點B滿足AB⊥BP，所以以AP為直徑的圓和圓C相切，

而以AP為直徑的圓的方程為

思路分析2（圓與圓的位置關系法2）：在設點運算這一環節，采用P（t，t+2）運算較為復雜，考慮到圓的定義中M（M為AP中點）為圓心，那么設出點M坐標對于圓方程的表示更為簡潔，運算也更為方便.因此，在解題時，運算的切入點選擇也很值得關注.

解法2：設AP的中點為M，因為圓C上有且僅有一個點B滿足AB⊥BP，所以以AP為直徑的圓M和圓C相切.

設點M的坐標為M（t，t+2），則P（2t+2，2t+4），

切入點2（合理轉化）：轉化思想是將未知化為已知，復雜化為簡單，非常規化為常規的思想方法.注意抓住問題的特征，合理轉化，找到解題切入點，使問題簡潔易解.

思路分析3（圓與圓的位置關系法3）：兩圓相切是使用圓心距與半徑之間的關系，不可避免用到根號與絕對值，運算量大且易錯.抓住兩圓對應方程作差確定點B所在的直線方程這一結論作為切入點，我們可以將兩圓相切的問題轉化為直線與圓相切，即點到直線的距離問題，從而快速解題.

解法3：設點P的坐標為P（t，t+2）.

因為圓C上有且僅有一個點B滿足AB⊥BP，

所以以AP為直徑的圓和圓C相切，

而以AP為直徑的圓的方程（直徑式）為（x+2）（x-t）+y（y-t-2）=0.

又圓C：（x-2）2+y2=2，兩方程對應相減，

整理可得（t-6）x+（t+2）y+2t+2=0，

整理可得3t2-16t+5=0，解得t=或5.

切入點3（展開聯想）：拿到問題時，注意對題目中條件的結構，數據特征等展開聯想，找到隱藏著的信息，常常能得到啟發，找到解題的切入點.

思路分析4（雙曲線法）：根據A（-2，0），C（2，0）關于原點對稱，兩圓相切又會得到圓心距等于半徑和或差，展開聯想，AP的中點M的軌跡與圓錐曲線有關，進而發現解題的切入點.

解法4：設AP的中點為M，因為圓C上有且僅有一個點B滿足AB⊥BP，所以以AP為直徑的圓M和圓C相切，可得||MA|-|MC||=＜4=|AC|，

切入點4（知識遷移）：數學的各部分內容不是孤立存在，而是互相滲透的.揭示和建立新舊知識聯系，可以幫助我們發現問題的另一種表述，為高效率的解題找到切入點.

思路分析5（余弦定理法）：上述4種解法均沒有跳出解析幾何的框架，而題目中兩圓相切得到圓心連線過B，從而將解析幾何中的解點問題遷移到解△AMC的邊AM，利用解三角形知識，順利找到解題的切入點.

解法5：設AP的中點為M，因為圓C上有且僅有一個點B滿足AB⊥BP，所以以AP為直徑的圓M和圓C相切，設圓M的半徑為r.

（1）當圓M和圓C外切時，在△AMC中，由余弦定理得MC2=AC2+AM2-2AC·AM·cos45°，

（2）當圓M和圓C內切時，在△AMC中，由余弦定理得MC2=AC2+AM2-2AC·AM·cos45°，

總結：根據圓C上有且僅有一個點B滿足AB⊥BP來確定以AP為直徑的圓和圓C相切，那么常見的思維方式就是利用兩圓的位置關系來處理，可以通過不同的切入點來分析，解法1到解法3均從“兩圓的位置關系的不同”這個角度來切入并處理；而根據以AP為直徑的圓M和圓C相切可得||MA|-|MC||=＜4=|AC|，進而利用雙曲線的定義來轉化，結合直線與雙曲線的位置關系來解決，解法4的思維巧妙，方法特別；由于涉及的是解析幾何與三角形問題，當然離不開解三角形的方法，采取兩圓外切與內切時的不同情況，利用余弦定理也可以達到非常有效的解答，解法5給出了解三角形的奇特應用.

總之，我們應當在仔細審題的基礎上，分析問題與條件之間的關系，通過轉化、聯想、知識遷移等方法，找出解題的切入點.并在解題反思中注意對條件的充分挖掘，多角度出發，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”H