數(shù)學教學中的分類問題

方宜

摘 要 充分條件與必要條件可以同時滿足，這樣的話，對命題分類時，就會出現(xiàn)問題，函數(shù)的奇偶性也有同樣的問題。

關(guān)鍵詞 分類 充要條件 奇偶性 教學

中圖分類號：G718 文獻標識碼：A

學生在學習充要條件與函數(shù)的奇偶性時，常常會遇到與下面兩個例題相似的練習，學生會因為使用的定義不同，得到不同的結(jié)論而困惑不解。

例題1：指出下列各組命題中，條件p是結(jié)論q的什么條件。

p：a=b，q：（ab）2=0.

答案1：條件p是結(jié)論q的充分條件（根據(jù)充分條件的定義）。

答案2：條件p是結(jié)論q的必要條件（根據(jù)必要條件的定義）。

答案3：條件p是結(jié)論q的充要條件（根據(jù)充要條件的定義）。

例題2：判斷下列函數(shù)的奇偶性：

f（x）=0；

與上面題目類似，此題也有三個答案：

答案1：奇函數(shù)（根據(jù)奇函數(shù)的定義）。

答案2：偶函數(shù)（根據(jù)偶函數(shù)的定義）。

答案3：既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)（根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義）。

以上兩個例題的三個答案都沒有錯，但這兩個例題并不是多選題，問題究竟出在什么地方呢？我認為，出現(xiàn)這樣問題的根本原因是：題目的分類屬性與定義的開放屬性之間產(chǎn)生了矛盾。這樣的題目本質(zhì)上是一個分類的問題。在數(shù)學中，分類必須滿足純粹性和完備性。純粹性就是不同類的對象之間必須互相排斥，完備性就是任何對象都必須屬于某一類。用數(shù)學語言描述就是：任給元素a，a屬于且只屬于某一類。

顯然，充分條件與必要條件，充分條件與充要條件，必要條件與充要條件等，并不排斥。即充分條件與必要條件，充分條件與充要條件，必要條件與充要條件等，可以同時滿足。具體的情況就是：一個命題可以既是“充分條件”，也是“必要條件”。實際上，兩個命題之間的關(guān)系應(yīng)該分為四類：（1）充要條件；（2）充分不必要條件；（3）必要不充分條件；（4）既不充分也不必要條件；而有關(guān)定義并沒有滿足分類的要求。同樣的，函數(shù)的奇偶性也應(yīng)該分為四類：（1）非偶奇函數(shù)；（2）非奇偶函數(shù)；（3）奇偶函數(shù)；（4）非奇非偶函數(shù)；而相關(guān)定義也不滿足分類的要求。因此，要避免這樣的問題出現(xiàn)，我認為第一種解決方案是修改題目，明確分類要求。

例題1：指出下列各組命題中，條件p是結(jié)論q的什么條件。可以改為：

例題1：指出下列各組命題中，條件p是結(jié)論q的（充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件）中的哪一種條件。

例題2：判斷下列函數(shù)的奇偶性：可以改為：

例題2：判斷下列函數(shù)是（非偶奇函數(shù)、非奇偶函數(shù)、奇偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)）中的哪一種函數(shù)：

除了修改題目，以避免題目是分類的問題，而定義不滿足分類要求的矛盾外。我認為第二種解決方案是修改定義。使定義滿足分類要求，徹底解決此類問題。

兩個命題的關(guān)系的定義具體修改地方如下：

“充分條件”的定義應(yīng)該改成：如果pq且qp，則p是q的充分條件。

“必要條件”的定義應(yīng)該改成：如果pq且qp，則p是q的必要條件。

“充分條件”的定義不變，仍然是：如果pq且qp，則p是q的充要條件。

最后還要加上一個定義：如果pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件。

這樣修改充要條件的相關(guān)定義后，兩個命題之間的關(guān)系分類為：（1）充要條件；（2）充分條件；（3）必要條件；（4）既不充分也不必要條件。

這時，充分條件與必要條件，充分條件與充要條件，必要條件與充要條件等，再也不會同時滿足，此類問題不再出現(xiàn)。學生再也不需要做這類題目時，要揣測老師出題時的想法，揣測老師是希望他使用哪個定義來判斷。學生只需要根據(jù)題目字面的意思獨立思考就可以了。

函數(shù)的奇偶性的定義修改如下：

“奇函數(shù)”的定義應(yīng)該改成：如果f（x）= f（x），并且定義域內(nèi)存在一點x0，使得f（x0）≠f（x0），則f（x）為奇函數(shù)。

“偶函數(shù)”的定義應(yīng)該改成：如果f（x）=f（x），并且定義域內(nèi)存在一點x0，使得f（x0）≠f（x0），則f（x）為偶函數(shù)。

增加“奇偶函數(shù)”的定義：如果f（x）=f（x），并且f（x）=f（x），則f（x）為奇偶函數(shù)。

增加“非奇非偶函數(shù)”的定義：如果定義域內(nèi)存在x1和x2，使得f（x1）≠f（x1），并且f（x2）≠f（x2），則f（x）為非奇非偶函數(shù)。

同樣的，修改函數(shù)的奇偶性的相關(guān)定義后，函數(shù)的奇偶性分類為：（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）奇偶函數(shù)；（4）非奇非偶函數(shù)。

兩種解決方案各有優(yōu)缺點，修改題目，只需要出題的老師注意此類問題的分類屬性，牽涉面不廣，可操作性強。修改定義雖然可以徹底解決此類問題，但涉及到學術(shù)界的看法，牽涉面較廣。也許還有更好的解決方案，希望各位同仁不吝賜教。

參考文獻

[1] 張景斌.中等職業(yè)教育課程改革國家規(guī)劃新教材[M].語文出版社，2009.

[2] 李全廣，李尚志.中等職業(yè)教育課程改革國家規(guī)劃新教材《數(shù)學》[M].高等教育出版社，2012.