借助數學表象 架起思維橋梁

顧玉華

摘 要：促進學生的思維發展是數學教學的主要目標。數學表象是促進學生思維發展的有效橋梁，在小學數學教學中，教師要善于借助直觀表象、經驗表象、操作表象幫助學生點燃數學思維、激活數學思維、推進數學思維、深化數學思維。

關鍵詞：數學表象；數學思維；橋梁

在小學數學教學中，促進學生數學思維的發展是重要的教學目標之一?，F在，一些教師在小學數學教學中，一般都會通過一定數量的直觀事物供學生觀察，并在此基礎上引導學生學習。但是，學生在這種方式中并不能對數學知識進行透徹理解，也不能夠進行高效化的思維。其實，在這個過程中，學生在感性認識和概括知識之間，以及概括到應用之間都沒有形成良好的過渡，主要的原因是沒有形成數學表象，所以在思維上就出現了斷層，導致無法進行有效的數學思考和抽象。人們在進行數學抽象思維時，都是以感性認識為前提，通過表象進行過渡，然后以自己的知識基礎和表達來完成。因此，教學中教師要豐富學生的數學表象，為學生架起數學思維的橋梁。

一、借助直觀表象，點燃數學思維

利用直觀的事物來引起學生的感性認識，能有效地引入新知的學習，假如不能從感性轉化為抽象思維，就無法抽象和概括出抽象的數學新知。為了讓學生能跳出具體的事物，把感性思維過渡到抽象思維上，就需要幫他們建立表象。不過表象來源于對事物的感知，只有強化對事物的認知，才能建立起正確有效的表象，以升華學生的感性認識，點燃他們的數學思維。

例如，在“認識厘米”一課的教學中，教師就設計了如下三方面的感知內容，以便學生對1厘米形成準確的表象：（1）首先對1厘米進行初步認識，教師問：“你們知道尺子上多少表示1厘米嗎？”有學生就回答自己以前就知道尺子上0到1這一段就是1厘米，對此教師進行了表揚并讓學生利用手中的尺子感受一下1厘米的長度。（2）教師對1厘米的概念進行總結，讓學生根據剛才的認識在尺子上找出還有沒有其他的1厘米，以幫助學生理解尺子上兩個相鄰的數之間都表示1厘米的長度。（3）讓學生對1厘米有多長進行比畫，先讓學生對前面觀察尺子上1厘米的長度進行回想，然后自己把1厘米的長度比劃出來。

以上案例中，正是因為教師引導學生在直觀表象的基礎進行數學抽象，點燃了學生的數學思維，因此，學生能夠對“厘米”這一概念進行深入把握，從而達到了高效的教學效果。

二、借助經驗表象，激活數學思維

由于兒童的思維主要是依靠直觀感性的認識來形成的，所以在建立表象時需要依靠學生的生活經驗為基礎，以支撐其思維，保證思維的順暢性。而在實際教學時，學生常會因為沒有及時喚醒腦海中與所學知識相關的表象，難以有效地對題目進行解答。這就給教師傳達出這樣的信號：要讓學生在正確、豐富的感知中建立思維表象。教師應為學生建立有效的第一印象，以便學生在感知的基礎上建立起數學表象，然后從中歸納、概括、抽象出數學概念以建立數學模型。一些經驗豐富的教師就會讓學生在對事物充分感知的基礎上，對所見的事物進行冥想，通過隱去事物的方式在學生腦海中建立表象，以此激活學生的數學思維。

例如，一位教師在教學“長方體和正方體的認識”一課時，圍繞如下環節展開。

“看”，為學生提供實物進行觀察，如在講題和做題中給學生展示相應的實物。

“拆”，引導學生沿長方體紙盒的棱進行裁剪，并展開為一平面圖形，觀察是什么形狀，從而幫助學生建立起展開前后各面對應的位置關系。

“做”，組織學生利用卡紙制作出底面是正方形的長方體、長寬高各不相同的長方體、長寬高均相等的長方體。

“畫”，引導學生先對桌上的長方體進行觀察，看從一個角度能看到幾個面，然后邊觀察邊畫出其立體圖，同時繪制前面拆得的展開圖。在今后的習題中，要求學生畫出圖來進行分析，從而使表象更加清晰。

以上教學片段中，教師在引導學生建立數學表象時首先確保了表象的典型性，然后以學生的知識經驗為基礎，與學生相關的材料為感知對象，確保學生有基礎對新知進行同化，推動學生有效地構建起概念表象，最后鼓勵學生調動各個感官積極參與實踐活動，以有效地構建表象。學生在對事物進行感知后，就能在腦海中留下深刻的心理表象，從而產生記憶。對于這些記憶中的表象，教師應采取合理的方式來增加學生的記憶表象內容，以便學生在后續的思維活動中有更多的表象基礎。

三、借助操作表象，推進數學思維

教師常常會組織學生進行動手實踐來學習，學生在實踐中雖然能有效地感知所學內容，但很可能出現學生遇到問題時，缺少了操作環境的輔助，不知道該如何下手。究其根源就是因為學生沒有深刻地認識到操作中所要研究的問題，沒有建立有效的表象。為此，就必須通過教師的適當引導來讓學生再次加工腦海中形成的表象，以此推進學生的數學思維。

例如，在教學“平行四邊形的認識”這一課時，一些教師一般都會把平行四邊形和長方形進行聯系，而學生在學習時往往不能準確地表達有關概念。為此，需要利用學生建立的表象來對學生對問題的認識進行深化。一位教師在教學中，出示了一張方格圖，并在其上繪制了一個平行四邊形，然后鼓勵學生以想象的方式來對這個平行四邊形進行轉化，形成一個長方形，以搭建起平行四邊形和長方形之間的有效鏈接。在這個基礎上，教師又拿出一張畫有平行四邊形的不帶方格的圖，學生就會在已經形成的表象的幫助下，建立起平行四邊形的底、高和長方形的長、寬之間的對應關系。

以上教學中，教師通過讓學生從實物轉化的角度來建立表象，并要求學生對所學對象進行數學表達。這樣就能把操作和思維活動結合在一起，共同為思維的深化發揮重要作用。

四、借助問題表象，深化數學思維

雖然教師幫助學生積累起豐富的表象資源，但很多學生不能從積累的表象中及時提取出與問題相關的表象，常常會出現不知所措的現象。對于這樣的情況，教師應推動學生對自身的表象認知進行激活，要借助問題表象把抽象的符號和模型等表象內容轉化為直觀的形象，以此深化學生的數學思維。

例如，學生對周長和面積的相關知識進行學習以后，基本上都能熟練地掌握不同圖形的周長和面積計算公式，但卻不能把所掌握的公式準確無誤地用于題目的求解中。因為學生所遇到的題目，基本上都是與生活相關的，并沒有直接在問題中提到要求解其周長或面積，對于這一情況，就要讓學生對已有的周長和面積的表象進行回顧。有這樣一個實際問題：“有一張邊長為80厘米的方桌，要做一塊與桌面大小相同的玻璃放在上面，那么需要多大的玻璃？如果還要用不銹鋼邊框來給玻璃鑲邊，那么不銹鋼條應準備多長？”學生在讀完這道題后，很多人都不能把“玻璃大小”轉化為“桌面面積”，也不能把“不銹鋼條的長度”轉化為“桌面周長”。為此就需要教師激發學生想象，引導學生：“玻璃的大小指的是什么，它的邊又指哪兒，在腦海里想象這塊玻璃，并試著用手去摸摸看?！庇谑菍W生就能通過想象對周長和面積進行回顧，激活學生學習知識中建立的表象，從而理解問題里所說的“玻璃大小”就是其面積，直接用“邊長×邊長”求出，“不銹鋼條的長度”就指玻璃四條邊的長度和，用“邊長×4”進行計算。

以上案例中，雖然學生能牢固地掌握相關周長和面積的計算公式和表象，但遇到與生活相關的實際問題，卻不能把建立起的抽象模型有效地應用到解題中。通過教師的點撥，學生才喚醒了已有的周長和面積的表象，進而在感性和抽象思維之間自由地穿梭，有效掌握所學知識。

總之，通過對形成的感覺和知覺進行處理，就能形成表象，從而搭建起感性思維與理性思維之間的橋梁。所以，教師應積極地把表象應用于數學教學中，讓學生能順利地實現直觀形象到抽象概括的轉化，以提高思維能力，實現高效學習。