關于一道不定積分習題的多種解法分析

李媛媛

(江蘇省南京林業大學應用數學系 210037)

大學數學教育階段，高等數學是一門重要的基礎課.課程一般分為三個部分：微積分學、解析幾何和常微分方程.對于理工科學生來說，學好高等數學，理解透高等數學，才能在之后的專業學習中事半功倍.

不定積分是高等數學的一個教學重點和教學難點.不定積分的計算，方法靈活，技巧性強，解法多種多樣.不定積分的計算中，我們主要使用的是第一類換元法，第二類換元法和分部積分法.學生在學習中往往感覺不定積分的計算很難掌握.教師在教學時，對某些例題采用多個解法來講解，有利于學生的思維開拓，也使其能更好地理解解題的思路.同時我們對學生在做題時常常忽略的問題將著重分析，達到靈活使用多種積分方法的目的.

一、問題及解法

1.解法一 第二類換元法中的根式換元法的應用

分析在含有根式的被積函數情況下，我們往往考慮第二類換元法中的根式代換法.我們知道換元法是不定積分計算時一個重要的工具.在使用換元法時，被積函數的定義域往往被忽略考慮.我們在求不定積分的時候，應該求得是被積函數在定義域上的不定積分，不能只考慮定義域的部分區間上的不定積分.在解法一中，我們發現被積函數的定義域需要被分割為兩個區間去考慮.在不同的區間中，自變量x的表達式是不一樣的.學生在考慮這個問題往往會只考慮解法中的一種情況，而忽略另一種.

2.解法二：第二類換元法的根式換元法與第一類換元法的綜合運用

令：2x-x2=t.

分析我們看到解法一與解法二都是同一個類型的根式換元法.學生在做不定積分的計算題時，時常會問這個問題：不定積分的計算太難了！使用換元法時，到底應該拿哪一部分的表達式來換元呢？我的回答是，多嘗試！把你覺得可能的換元情況自己拿起筆算一算，看看能不能再繼續算下去，能不能在換元后得到的被積函數是原函數容易計算的形式了.多動筆，多練習，才是學好不定積分的計算的必經之路.

3.解法三：第二類換元法的三角換元法的應用

4.解法四：第二類換元法的根式換元法與分部積分法的綜合應用

分析(1)在不定積分計算中，我們往往會對被積函數變形，以起到簡化被積函數的目的.在函數的變形時，我們要使用的是恒等變換.恒等變形時需要大家注意前后函數的一致性，特別是在定義域上需要保持一致，必要時需要分情況考慮.

(2)不定積分計算的一個重要方法：分部積分法.其原理是函數四則運算求導法的逆運用.分部積分法的適用的被積函數有部分具體的情況.例如：冪函數和正(余)弦函數的乘積、冪函數和指數函數的乘積、冪函數和對數函數的乘積、指數函數和正(余)弦函數的乘積、冪函數和反三角函數的乘積等.我們在使用分部積分的方法時，要注意是否會出現循環形式.如果有循環公式出現，則可以使用解方程的方法將不定積分求出.解法四中便是使用了分部積分后，出現了循環形式，再求解不定積分.

5.解法五：第二類換元法的根式換元法和三角換元法的綜合應用

二、總結

本文給出了一道不定積分的多種解法.這些解法中結合了多種積分的方法.第一類換元法(湊微分法)、第二類換元法(根式換元法，三角換元法等)與分部積分法都融入解法中，充分體現了積分法的綜合應用，拓寬了解題思路，對靈活掌握不定積分的計算方法有一定的啟發作用.

我們在講解不定積分的計算時，往往會采用一題多解的形式，來啟發學生.但是要指出的是，我們的教學目標還是學生自己能解決不定積分的計算問題.我們講授多種解題思路并不是要求學生每一種解法都會做，而是希望學生在拓寬思路的同時，能夠選擇自己“順手的”，也就是熟練的方法來處理不定積分的計算.我們并不是要求大家尋求“新奇特”的解法，而是希望大家對常規的經典的不定積分計算，至少要能熟練掌握一到兩種的常規做法.對于學生來說，掌握不定積分的計算最根本的還是充足的練習量.在練習中，體會多種解法的應用，從而才能靈活掌握多種積分的方法.

同時，我們也指出在計算不定積分的過程中，大家容易忽略的一些問題所帶來的錯誤.一般容易出現的錯誤都在于換元法和函數變形時，對被積函數的定義域沒有充分考慮，從而造成了被積函數的定義域的改變.所以在計算不定積分時，要注意在變量替換和函數變形時，要保證前后被積函數的定義域是前后對應的，不能擴大或是縮小了被積函數的定義域.