三角函數(shù)最值問題淺談

范登林

【摘要】：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。三角函數(shù)是函數(shù)的一種重要的函數(shù)，三角函數(shù)的最值問題包括了對(duì)三角函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式、兩角和差以及倍角公式的考查，是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用，隨著教育的深化，三角函數(shù)最值問題成為高考命題的熱點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】：三角函數(shù) 高考數(shù)學(xué) 最值 方法探究

研究三角函數(shù)的最值問題，其方法與求三角函數(shù)值域的方法類似。先通過三角恒等變換，使目標(biāo)函數(shù)變量歸一，函數(shù)名稱歸一，然后利用基本函數(shù)的值域，求得原函數(shù)的最大值與最小值。在實(shí)際操作過程中，要注意換元法的應(yīng)用并注意函數(shù)定義域的限制。

求解三角函數(shù)最值問題的基本思想：

1、認(rèn)真觀察函數(shù)式，分析其結(jié)構(gòu)特征，確定類型。

2、根據(jù)類型，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行三角恒等變形或轉(zhuǎn)化，這是關(guān)鍵的步驟，具體可考慮：①將函數(shù)式化成或形式，再利用正弦函數(shù)的有界性求出最值；②通過換元，將函數(shù)解析式化成二次函數(shù)、二次方程進(jìn)行求解，需要注意的是，在換元后，要注意新變?cè)娜≈捣秶虎坜D(zhuǎn)化為可利用不等式性質(zhì)，均值不等式來求解的問題；④轉(zhuǎn)化為可利用函數(shù)的單調(diào)性來求解的問題；⑤改變主元，視函數(shù)為輔元，從而通過判別式法來分析的最值問題；⑥化歸為可利用幾何解釋來解決的問題。

3、通常可考慮降次，積化和差與和差化積、引入輔助角、萬能代換、換元、配方而對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形或轉(zhuǎn)化。

注：以上所列舉的方法僅是從一般求解方法上來說的，可能并不適用于所有題目。有些題目比較特殊，無法用以上方法來解，而有些題目用以上很多方法都能解決，這時(shí)我們要具體情況具體分析，就要注意選擇簡(jiǎn)單恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q。