初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題的解題障礙分析及對(duì)策

唐寶平

摘要：我國正在實(shí)施新的基礎(chǔ)教育課程改革，初中義務(wù)教育課標(biāo)（2011）指出，對(duì)于發(fā)展學(xué)生動(dòng)態(tài)幾何思維水平要求的改變，引起了大家的廣泛關(guān)注。動(dòng)態(tài)幾何問題是中考對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)考察的重要內(nèi)容，但筆者在教育過程中了解到，動(dòng)態(tài)幾何問題是初中生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，學(xué)生在求解動(dòng)態(tài)幾何問題中出現(xiàn)了很多錯(cuò)誤。因此，研究初中生求解動(dòng)態(tài)幾何問題的障礙及對(duì)策，為改進(jìn)教學(xué)提供參考依據(jù)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：初中生；動(dòng)態(tài)幾何問題；解題障礙

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）08-0112

幾何知識(shí)歷來是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它不僅在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和直觀想象能力上起著重要的作用，而且在培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的個(gè)性品質(zhì)和獨(dú)特的創(chuàng)新意識(shí)上起著關(guān)鍵性作用。因此，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革的焦點(diǎn)總是集中在幾何內(nèi)容上。數(shù)學(xué)新課程改革以來，最為人們所關(guān)注的問題之一就是幾何課程的改革，而動(dòng)態(tài)幾何問題是幾何知識(shí)的重要組成部分，也就成為幾何課程改革的焦點(diǎn)。

一、初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題的解題障礙

1. 閱讀理解能力較弱

筆者對(duì)回收的測(cè)試卷中解答部分空白或者只有簡(jiǎn)單幾句的學(xué)生進(jìn)行了訪談，學(xué)生A表示：“自身數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱，而題目中文字太多，信息量太大，一看到這樣的題目就害怕，沒有耐心讀下去，就放棄了。”學(xué)生 B表示：“題目都看了一遍，但是已知條件太多了，不知從何處下手。”學(xué)生C表示：“解析式求出來后，后面就不會(huì)了。”筆者追問：“在課堂上，老師會(huì)給足時(shí)間讓你們仔細(xì)閱讀題目嗎？或者對(duì)你們進(jìn)行一些讀題技巧方面的指導(dǎo)嗎？”學(xué)生A回答：“老師有教過我們讀題時(shí)要邊讀邊做記號(hào)，但是課堂速度太快了，老師給我們讀題的時(shí)間很少，有時(shí)候老師自己快速把題目讀一遍就開始講了，我還沒有反應(yīng)過來。”查看這幾位學(xué)生的調(diào)查問卷，發(fā)現(xiàn)他們?cè)谄饺盏臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，都存在很大的畏難情緒，并且學(xué)習(xí)習(xí)慣也不是太好，比如遇到難題時(shí)大部分采用的解決方式都是問同學(xué)，讀題過程中很少做標(biāo)記等。

例如，如圖，已知∠AOB=90°，在∠AOB 的平分線 OM 上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C 重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）交于點(diǎn)D、E，當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與 OA垂直時(shí)（如圖 1），易證：CD=CE.當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與 OA不垂直時(shí)，在圖 2、圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)寫出猜想，不需證明。

筆者在批改學(xué)生作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思路很亂，在三幅圖中找不到對(duì)應(yīng)三角形全等，其實(shí)本題只要仔細(xì)觀察題目，圖（1）中證△ODC≌△OEC；圖（2）、圖（3）過 C 點(diǎn)向 OA、OB 邊作垂線段，繼續(xù)證全等就可得到 CD=CE。本題用到了旋轉(zhuǎn)、全等相關(guān)知識(shí)，題目看似很長，學(xué)生認(rèn)為一定很難，難以下手。其實(shí)，本題用類比的思想，只要帶著數(shù)學(xué)思想方法去解題，解題事半功倍。

2. 缺乏利用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。在測(cè)試卷中，有不少學(xué)生的解答過程完全使用代數(shù)方法，圖中一點(diǎn)記號(hào)都沒有，或者對(duì)于需要分類討論的題目，沒有針對(duì)每一種情況單獨(dú)作圖。查看這一部分學(xué)生的調(diào)查問卷，發(fā)現(xiàn)他們?cè)诮忸}時(shí)，很少借助圖形來分析。

3. 運(yùn)算能力較弱

重視基礎(chǔ)教學(xué)，加強(qiáng)基本訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的奠基工程。運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本功之一。但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生往往重視思維能力的發(fā)展，忽視對(duì)運(yùn)算能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，從而造成基本運(yùn)算技能不過關(guān)，解題時(shí)容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。運(yùn)算能力的薄弱是許多初中生的突出問題，如公式記憶不準(zhǔn)確、運(yùn)算法則混亂、運(yùn)算過程繁瑣復(fù)雜等。準(zhǔn)確是運(yùn)算的基本要求，不少學(xué)生犯粗心、馬虎是導(dǎo)致運(yùn)算能力差的主要原因，其實(shí)并非如此。運(yùn)算不準(zhǔn)確在很大程度上是由于對(duì)基本概念理解不深，對(duì)基本公式、法則掌握不透徹以及對(duì)它們的應(yīng)用不夠熟練而造成的。

4. 不會(huì)做輔助線

輔助線的添加不能死記硬背，要從已知條件出發(fā)，看已知給出什么圖形，再看求證的結(jié)論是什么，要推出這個(gè)結(jié)論應(yīng)具備哪些條件，尋找特殊點(diǎn)，利用已掌握的有關(guān)知識(shí)圍繞圖形找聯(lián)系、看變化，從而正確添加輔助線，找出解題思路。另外只有在通曉基礎(chǔ)知識(shí)，嫻熟基本證法，并進(jìn)行大量訓(xùn)練后，才能得心應(yīng)手，筆下生輝。筆者查看了測(cè)試卷中反應(yīng)出有此問題學(xué)生的調(diào)查問卷，發(fā)現(xiàn)這一部分學(xué)生平時(shí)很少記筆記，說明平時(shí)不注重積累。

二、初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題解題障礙的對(duì)策

1. 在教師教學(xué)方面

（1）教師要有意識(shí)地多強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的重要性，并且在課堂教學(xué)中要讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口，調(diào)動(dòng)多種感官參與學(xué)習(xí)，使操作、觀察相結(jié)合以激發(fā)學(xué)生多向思維。

（2）教師在日常教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)繪圖的重要性，增加繪圖訓(xùn)練。不僅要求會(huì)繪圖，而且還要要求繪好圖。標(biāo)準(zhǔn)作圖有助于思考與推理，潦草的繪圖會(huì)影響解題思路。繪圖能力同時(shí)也是數(shù)形結(jié)合的前提。

2. 在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)法方面

（1）首先，要抓基礎(chǔ)，重理解。數(shù)學(xué)中有很多公式、概念、定理，這些都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，必須在理解的基礎(chǔ)上去記憶。其次，精讀題目。數(shù)學(xué)中的一些語句是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模袝r(shí)候相差一個(gè)字就會(huì)有天壤之別。讀題時(shí)要集中注意力，邊讀題邊用筆圈出一些關(guān)鍵字詞，并且要充分挖掘題中的隱含條件。再次，邊讀題，邊畫圖。在幾何題中要養(yǎng)成邊讀題邊畫圖的習(xí)慣，借助圖形來思考，可以在頭腦中對(duì)已知條件和條件之間的關(guān)系形成更形象的記憶與理解。最后，帶著數(shù)學(xué)思想方法去讀題。總結(jié)歸納初中數(shù)學(xué)中的幾類重要思想方法，帶著這些方法去解題，往往可以事半功倍。

（2）分類討論思想貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生要有意識(shí)地對(duì)蘊(yùn)含分類討論思想的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理，做好記錄。在這里，筆者做了一個(gè)簡(jiǎn)單的整理，以供大家參考。

初中數(shù)學(xué)教材中主要有以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)含著分類討論思想：

①由符號(hào)的不確定而引起的分類討論，主要分布在數(shù)與式中。

②由于數(shù)量關(guān)系的不確定而引起的分類討論，主要分布在方程與不等式中。

③由于待定系數(shù)的不確定而引起的分類討論，主要分布在函數(shù)中。

④由于圖形的不確定而引起的分類討論，主要分布在圖形的性質(zhì)中。在動(dòng)態(tài)幾何題中，一般會(huì)有一些文字表述蘊(yùn)含著分類討論思想，所以學(xué)生要有抓住關(guān)鍵詞進(jìn)行分類討論的意識(shí)。另一種根據(jù)時(shí)間來劃分。在不同的時(shí)間段，點(diǎn)、線的位置不一樣，圖形就不一樣，圖中的線段、角之間的關(guān)系就不一樣。

3. 提高學(xué)生的運(yùn)算能力

運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本功。而運(yùn)算不準(zhǔn)確的原因在很大程度上是由于對(duì)基本概念理解不深，對(duì)基本公式、法則掌握不透徹，以及對(duì)它們的應(yīng)用不夠熟練而造成的。因此，教師在教學(xué)中要重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法的深刻理解，基礎(chǔ)題要多加練習(xí)，熟能生巧。

此外，學(xué)生在做題時(shí)，要從己知條件出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，再看要求證的結(jié)論是什么，尋找特殊點(diǎn)，利用已掌握的有關(guān)知識(shí)圍繞圖形找聯(lián)系、看變化，從而正確添加輔助線，找出解題思路；另外還要對(duì)各類圖形常見輔助線的作法進(jìn)行歸納總結(jié)。

（作者單位：四川省南充市儀隴縣檬埡鄉(xiāng)小學(xué)校 637616）