等可能條件下概率問題的錯(cuò)因分析和教學(xué)反思

【摘要】學(xué)生在解決等可能條件下的概率問題時(shí)，常常錯(cuò)誤使用樹狀圖。教師在教學(xué)時(shí)也會因?yàn)閮?nèi)容要求較低而一帶而過，不夠重視。本文分析了學(xué)生做題中的常見錯(cuò)誤，并反思我們的教學(xué)，對這部分教學(xué)給出相應(yīng)建議。

【關(guān)鍵詞】概率模型 樹狀圖 教學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）37-0206-01

在每一年的中考中，等可能條件下的概率問題是必考題，約8分。這8分是基礎(chǔ)題，對于中等以上學(xué)生比較好拿分，但是對于較薄弱學(xué)生往往處于混亂狀態(tài)，畫樹狀圖主要靠碰運(yùn)氣。在近幾年的初三教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)越來越多的學(xué)生沒有真正弄清原因，因此想針對此情況進(jìn)行分析和教學(xué)反思。

一、課標(biāo)分析

新課標(biāo)中關(guān)于概率問題的要求有：能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率。課標(biāo)對此的要求是“了解”，但由于實(shí)際問題的千變?nèi)f化，對于不同背景，如何正確列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵。我們可以通過畫樹狀圖、列表或枚舉等方法幫助解決問題。

二、常見錯(cuò)誤及原因分析

問題1 （蘇科版教材九上P139 8）“石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙都做出“石頭”、“剪子”、“布”3種手勢中的1種，其中“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“石頭”，手勢相同不分勝負(fù)。假定甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢中的1種，求下列事件發(fā)生的概率：

（1）甲取勝；（2）乙取勝；（3）甲、乙兩人不分勝負(fù)。

錯(cuò)解：

分析：這是學(xué)生最常見的錯(cuò)誤，不知道選擇的對象是什么，看到什么就把什么當(dāng)成樹狀圖的分支。

問題2 （蘇科版教材九上P145 8）小明有兩副完全相同的手套（分左、右手），上學(xué)時(shí)，小明從中任意拿了兩只。求這兩只手套恰好配成一副的概率。

錯(cuò)解：第一只 第二只

分析：弄錯(cuò)選擇對象，應(yīng)把兩副手套分別記作：左1，右1，左2，右2，把4只手套放在一起作為選項(xiàng)，從四只中任取兩只，可能的結(jié)果為（左1，右1）、（左1，左2）、（左1，右2）、（右1，左2）、（右1，右2）、（左2，右2）六種。

問題3 （2016南京中考第22題）某景區(qū)7月1日～7月7日一周天氣預(yù)報(bào)如右圖，小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區(qū)旅游。求下列事件的概率：

（2）隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預(yù)報(bào)都是晴。

錯(cuò)解：學(xué)生無法畫樹狀圖，不會寫結(jié)果。

分析：本題與常規(guī)題型不同，如果學(xué)生的思維局限于選擇兩天一定要畫樹狀圖，則本題將無法解決。本題的考查意圖即為學(xué)生要能弄清求概率的本質(zhì)，是要分析出實(shí)際問題中可能出現(xiàn)的結(jié)果，方法是多樣的，而不應(yīng)局限于畫樹狀圖或列表這樣機(jī)械的方法。

三、教學(xué)反思

1.充足課時(shí)保證學(xué)生充分感受

由于筆者近四年都在初三進(jìn)行教學(xué)，感觸最深的是課時(shí)緊張。因此，往往教師會在統(tǒng)計(jì)和概率這樣比較容易的內(nèi)容里壓縮課時(shí)，以講題為主。學(xué)生沒有機(jī)會充分感受隨機(jī)現(xiàn)象和概率的意義，解決問題時(shí)不會分析問題，只知道生搬硬套畫樹狀圖，不弄清原理，無法建立“概率模型”。建議大家在教學(xué)時(shí)通過讓學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)，感受等可能的結(jié)果。例如通過讓學(xué)生做摸球的實(shí)驗(yàn)，感受不同摸球方法帶來的結(jié)果的不同。本文提到的問題1也可以讓學(xué)生通過兩兩操作，找出可能的結(jié)果應(yīng)該是（甲石頭，乙剪子）這樣的形式，進(jìn)一步理解樹狀圖的結(jié)構(gòu)。在新課階段讓學(xué)生多接觸不同的背景，感受他們的異同。

2.適當(dāng)補(bǔ)充加法原理與乘法原理

兩個(gè)基本原理是高中排列、組合章節(jié)的起始課，找等可能結(jié)果的過程往往相當(dāng)于排列、組合問題，與其讓學(xué)生糊里糊涂排，不如講清原理，盡可能不完全依賴于樹狀圖這種過于機(jī)械的方法，先從計(jì)算角度理清可能的結(jié)果數(shù)，再具體列舉。很多概率問題就是在解決簡單的排列組合問題例如2014南京中考第20題，從甲、乙、丙3名同學(xué)中隨機(jī)抽取環(huán)保志愿者，抽取1名和抽取2名就是經(jīng)典的組合數(shù)問題，學(xué)生直接用枚舉法列出抽取兩名的可能結(jié)果（甲，乙）、（乙，丙）、（甲、丙）非常簡單，比樹狀圖更為清楚，尤其是被抽取對象較多時(shí)，這種方法優(yōu)勢更明顯。

3.歸納提升，總結(jié)方法，形成能力

學(xué)生的主要困難是，遇到的新問題、新背景不知道如何處理，常常會陷入是選人還是選地方，選鑰匙還是選鎖的混亂之中。實(shí)際上，初中階段可能遇到的簡單隨機(jī)問題基本可以用同一個(gè)“概率模型”——摸球來刻畫，只要把不同背景的問題轉(zhuǎn)化為相對的摸球問題，學(xué)生的問題就迎刃而解了。例如，問題1相當(dāng)于在一個(gè)袋子里有放回的摸球；問題2相當(dāng)于在一個(gè)袋子中一次摸兩個(gè)球，也可以看成是無放回的摸球；把這樣的問題集中呈現(xiàn)讓學(xué)生學(xué)會如何把不同背景轉(zhuǎn)化為相同，化陌生為熟悉，更一般性的解決問題。

4.把握中考要求，控制難度

縱觀十年來的南京中考題，概率問題的背景都很簡單，都以學(xué)生平時(shí)熟知的問題為背景。2009至今摸球問題出現(xiàn)三次，選人問題出現(xiàn)三次，生男生女問題出現(xiàn)兩次，抽取紙幣的問題出現(xiàn)一次。應(yīng)該說，避免了讓學(xué)生會混亂的問題。問題3是最特別的一題，這一題旨在提醒教師和學(xué)生不要把概率問題等同于畫樹狀圖，而把重點(diǎn)放在排出所有等可能的結(jié)果。從中考的導(dǎo)向來看，概率問題不應(yīng)出現(xiàn)刁鉆的、學(xué)生不熟悉的背景，不能變成復(fù)雜的排列組合問題.在教學(xué)中，應(yīng)以基本問題為主，讓所有層次學(xué)生都能輕松掌握，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。

作者簡介：

毛南燕（1979.6-）， 女，漢族，江蘇南京人，本科，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。