有序建構思維 滲透思想方法 追蹤數學本原*
——《課例：函數的零點》實錄與反思

☉江蘇省南通市天星湖中學 錢 鵬

☉江蘇省豐縣中學 曹 軍

2017年10月在徐州市與南通市的教育對口交流活動中，筆者代表南通市經濟技術開發區“徐新民名師工作室”在江蘇省豐縣中學借班上了一堂展示課，教學內容為蘇教版《數學1》（必修）中的“函數的零點”，受到交流活動中老師們的一致贊賞.筆者在教學中根據函數零點的基本思想與方法，并結合學生的認知水平，通過培養學生數學學科核心素養而構建了有效課堂.展示課印發給師生的學習材料充分依據教材而進行“二次開發”，以一張“微專題教學活動單”呈現（篇幅有限，略）.后經過專家老師點評和自己反思，感觸頗多.筆者認為：數學教學中學生思維需有序建構、貫穿思想方法滲透、才能追蹤數學本原.

一、教學目標以及重點、難點

1.教學目標

（1）理解函數的零點、方程根、函數圖像與x軸交點的橫坐標三者之間的聯系；

（2）能夠借助基本初等函數，尤其是二次函數的圖像，探究出“零點定理”；

（3）能將方程求解問題轉化為函數零點問題（函數圖像交點問題），并會根據零點定理判斷零點的大致區間；

（4）通過零點定理的探究，讓學生體驗特殊到一般、數形結合、函數與方程等數學思想方法.

2.教學重點

零點定理的探究，增強利用函數解決方程問題的意識.

3.教學難點

（1）零點定理探究過程中如何把直觀的圖形特征轉化為具體的代數表達；

（2）對零點定理條件是充分不必要的理解.

二、教學過程實錄

1.創設情景，課題引入

師：非常高興來到江蘇省豐縣中學和同學們學習交流，這里不但校園優美、典雅，同學更是勤奮好學.看一個學校既要看校園環境，更要看學習氛圍.蘇軾曾在《題西林壁》中寫到：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.這就告訴我們看問題就是要從不同的角度進行思考，不同的角度就會得到不同的啟迪，同樣對一個數學式子y=2x-1，你是怎么看的呢？

生1：從函數的角度來理解，它是一次函數，它的圖像是一條直線.

生2：從方程的角度來看，它是一個二元一次方程.

師：如果令y=0，這個式子又怎么看呢？

2.建構概念

師：（問題1）觀察此表，求解表中一元二次方程的實數根，作出相應的二次函數圖像簡圖，并寫出函數圖像與x軸交點的橫坐標（先讓學生思考，再由學生口述，用幻燈顯示結果）.

方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0函數 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3函數圖像（簡圖）方程的實數根函數的圖像與x軸的交點

師：方程的根與函數圖像與x軸交點的橫坐標之間有什么關系？

生：方程的根就是函數圖像與x軸交點的橫坐標.

師：（問題2）若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）及相應的二次函數y=ax2+bx+c（a>0）的圖像與x軸交點的關系，上述結論是否仍然成立？（師生一起探究揭示關系）

判別式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0函數圖像方程的實數根函數的圖像與x軸的交點

點評：讓學生從熟悉的環境中發現新知識，使新知識與原有知識形成聯系.為引出函數零點的概念做準備.

師：二次函數的圖像與相應的一元二次方程的根有這樣一種關系：二次函數的圖像與x軸有交點，則其橫坐標就是一元二次方程的根.那么對于其他的函數與相應的方程是否同樣的結論呢？你能舉例說明嗎？

生1：一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸有交點且坐標是

生2：對數函數y=log2x的圖像與x軸有交點且坐標是（1，0），相應的方程為log2x=0，它的根是x=1.

生3：指數函數y=ax的圖像與x軸沒有交點，相應的方程為ax=0，它無實根.

師：我們就可以推廣到一般情形，函數圖像與x軸的交點的橫坐標就是相應的方程的根.就是函數的零點，怎么樣得到函數的零點呢？

生：是令y=0得到的.

師：那么對于一般的函數y=f（x），如何定義它的零點.

生：函數y=f（x）的零點就是使函數y=f（x）的值為零的實數x的值.

師：對于這個定義，我們仍然從兩個角度刻畫.從數的角度y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的根，從形的角度y=f（x）的零點就是函數的圖像與x軸交點的橫坐標.

（板書）等價關系：方程f（x）=0有實數根?函數y=f（x）的圖像與x軸有交點?函數y=f（x）有零點.

點評：從特殊到一般，從模仿到創新，有利于學生的知識遷移和能力提高.

師：零點是一個點嗎？

生：零點指的是一個實數.

師：練習1.請大家觀察圖1，并回答這個函數有幾個零點，零點是什么？

圖1

生：函數有3個零點，零點是 -1，1，3.

師：同學們嘗試一下求下列函數的零點.

（1）f（x）=x2-5x+6；（2）f（x）=2x-1.

（學生自主完成，教師巡回指導）師：總結一下求函數零點的步驟.

生：（1）令f（x）=0；（2）解方程f（x）=0；（3）寫出零點.

師：給出圖像，并總結求函數零點的方法：

生：（1）求對應方程的根；（2）畫出圖像，找函數圖像與x軸的交點，交點的橫坐標即為函數零點.

師：你能從數與形兩個角度說說對函數的零點的理解嗎？

圖2

說明：教師在學生回答的基礎上繪制圖2，并指出：函數與方程相比，一個“動”，一個“靜”；一個“整體”，一個“局部”.用函數觀點研究方程，本質上是將局部問題放在整體中研究，將靜態結果放在動態中考察.函數零點概念的核心就是“使函數y=f（x）的值為0的實數x”，這個核心需要學生能夠自己探究出來才有價值.

3.零點存在定理探究

師：對于一些簡單函數的零點，可以通過解方程或作函數圖像求得，對于一個復雜函數如f（x）=lnx+2x-6，我們求不出零點，那么f（x）能不能判斷它在區間（a，b）內存在零點呢？我們來看這樣一個情景，如圖3，兩組圖哪一組圖表示小孩一定過河了？

圖3

生：第①組.

師：第②組圖，小孩一定沒有過河嗎？

生：不一定，可能過河，可能沒有過河.

師：將河流抽象成x軸，將前后的兩個位置視為A、B兩個點.請問當A、B與x軸有怎樣的位置關系時，AB間的一段連續不斷的函數圖像與x軸一定會有交點？

生：A、B在x軸的兩側時.

師：依托直角坐標系，A點用（a，f（a））表示，B點用（b，f（b））表示，那么A、B兩點在x軸的兩側，如何用數學符號（式子）來表示？

生：用f（a）·f（b）<0來表示.師：（1）觀察二次函數f（x）=x2-2x-3的圖像（如圖4）.

第1問：在區間［-2，1］上有零點______；f（-2）=______，f（1）=______，f（-2）·f（1）______0（＜或＞）.

第2問：在區間［2，4］上有零點______；f（2）·f（4）______0（＜或＞）.

第3問：若把區間改為［2，4］，［-2，2］，［0，5］，［4，5］，［-2，4］，結果如何？

根據以上探索，你能得出什么結論？

（先讓學生自主探究，再由學生口述，用幻燈片顯示結果）

生：函數在區間端點處的函數值乘積小于0，則函數在該區間上有零點.

師：這個結論推廣到一般情況下還成立嗎？

（2）觀察函數y=f（x）的圖像（如圖5）.

第1問：在區間［a，b］上______（有/無）零點；f（a）·f（b）______0（＜或＞）.

第2問：在區間［b，c］上______（有/無）零點；f（b）·f（c）______0（＜或＞）.

第3問：在區間［c，d］上______（有/無）零點；f（c）·（d）______0（＜或＞）.

師：在怎樣的條件下，函數y=f（x）在區間［a，b］上存在零點？

生：我覺得有兩個條件.一是函數圖像是連續不斷的；二是有兩函數值符號相反，即f（a）·f（b）<0.

師：（用幻燈片顯示）零點存在定理：如果函數y=f（x）在［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么，函數y=f（x）在（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.這個c也就是方程f（x）=0的根.

圖4

圖5

點評：先從一個已研究過的、簡單的函數入手，引導學生結合函數圖像，通過計算、觀察、比較得出函數在區間端點處函數值乘積的情況與函數在該區間內是否存在零點之間有什么關系.總結歸納得出函數零點存在的條件，并進行交流、評析.

4.數學應用

師：下面請大家嘗試用我們所得到的定理來解決一個問題.

例題（幻燈片顯示）求函數f（x）=lnx+2x-6的零點個數.

你想到了什么方法來判斷函數零點個數？

生1：用計算器或計算機作出x、f（x）的對應值表和圖像，根據零點存在定理判斷.

師：好，在定義域范圍內用計算機作出x、f（x）的對應值表.

x…1 2 3 4…f（x）…-4-1.3061.098 63.386 3…

用幾何畫板畫出f（x）的圖像，然后呢？

生1：因為f（2）·f（3）<0，根據零點存在定理f（x）只有一個零點.

師：為什么f（x）只有一個零點呢？

生1：根據圖像可知.

生2：因為f（x）在（0，+∞）上是單調增函數.

師：為什么f（x）在（0，+∞）上是單調增函數呢？

生2：因為當x增大時，f（x）的值也增大.

生3：因為函數y=lnx在（0，+∞）上是單調增函數，函數y=2x-6在（0，+∞）上也是單調增函數，所以f（x）在（0，+∞）上是單調增函數.

師：還有其他方法嗎？

生4：作出函數y=lnx與y=-2x+6的圖像，觀察兩函數圖像交點的個數.

生5：作出函數y=lnx-6與y=-2x的圖像，觀察兩函數圖像交點的個數.

師：大家來看一看（利用幾何畫板作圖），結果發現兩個函數圖像有交點，而且從圖像上看只有一個交點，說明函數f（x）=lnx+2x-6有零點，而且只有一個零點.

（學生探索判斷函數零點的方法，教師借助計算機或計算器來畫函數的圖像，結合圖像對函數有一個零點形成直觀的認識，師生共同完成）

師：小結一下求零點的方法.

生：（1）求對應方程的根.

（2）畫出圖像，找函數圖像與x軸交點的橫坐標，即為函數零點.

（3）轉化為研究兩個函數的圖像的交點.

點評：這些問題都源于課本，適當擴展，無疑加大了數學思維的梯度和強度.

5.課堂感悟

師：總結一下，這節課你有哪些收獲呢？

生1：本節課主要學習了函數零點的定義；函數零點存在性定理.

師：誰還有補充的？

生2：還學習了等價關系，函數y=f（x）的零點?函數y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標?方程f（x）=0實數根.

生3：函數的零點或相應方程的根的存在性，以及個數的判斷.

師：還有哪些思想方法呢？

生：函數與方程的思想；化歸與轉化的思想；數形結合思想.

師：課后請同學們完成下面的作業.

（1）書面作業必做題：課本第88頁第1題；第92頁第2題.

（2）研究性作業選做題：你會用哪些方法研究方程ex-1+2x=3的實根或其所在的大致區間？

點評：讓學生開展研究性學習，很有創意，為二分法求方程的近似解做好知識上和思想上的準備，很有意義.

三、課例反思

1.有序建構思維

學生的認知可分“已知區”“最近發展區”“未知區”三個層次，課堂教學就是在“已知區”和“最近發展區”上結合，真正讓新知識從已有的知識經驗中生長出來，產生知識的增長點，本節課通過學生熟悉的一次函數模型引出，從數與形的角度認識到函數與其他知識的聯系，探究一元二次方程與相應二次函數圖像和x軸的交點的橫坐標之間的關系，給出函數的零點的定義，由特殊到一般，從直觀到抽象，思維有序建構.雖然我們可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在，但對于沒有判別式的其他方程就可以根據相應的函數圖像來判斷了.從而理解方程根存在的本質以及判斷方程根存在的一般方法.這樣探究函數零點存在定理成為思維的必然，并使學生對方程根存在的認識不僅僅停留在判別式或函數圖像上.探究零點存在定理時，創設過河問題情景，不僅符合學生認知和能力水平，更使重難點有效突破顯得自然有序.分析定理時提出：不滿足定理的條件就一定不存在零點嗎？學生疑惑，有生成性問題，這既是邏輯關系問題，又是對定理深刻的理解問題，順勢點撥，接下來改變定理的條件，學生自然會多個角度思考了，使得思維在有序構建中得以提升.

2.滲透思想方法

數形結合、化歸轉化、方程的思想貫穿本節課.通過問題、例題、練習滲透思想，體現方法，增強函數應用的意識.概括函數的圖像特征，運用函數本身刻畫，把“圖像特征”轉化為“代數表示”，在具體的例子中抽象概括出共同的本質的性質，得到一般性的結論.本節所涉及的求函數零點方法，不難歸納.一是“算”就是相應方程的根，這要求方程是普通方程或者特殊的超越方程，可算、能算.二是“畫”就是畫圖像，一種畫函數圖像與x軸的交點，一種轉化成兩個函數圖像的交點，交點的橫坐標就是函數零點.三是“判”根據零點存在定理判斷零點的存在區間，特別要注意函數的單調性.而求函數零點時所蘊含的函數與方程的思想，化歸與轉化的思想，數形結合的思想，讓學生明白求函數零點時，什么題算？什么題畫？什么題判？這既是知識的綜合，也是方法的綜合，更是能力的綜合.

讓數學課堂有序建構思維，滲透思想方法，追蹤數學本原.實現真正意義上“數學是自然的”.W