淺析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“越位”現(xiàn)象

☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)汾湖高中 王 錚

“越位”是足球比賽中的術(shù)語(yǔ)，它主要是對(duì)進(jìn)攻方傳接球的運(yùn)動(dòng)員位置做了限定，如果位置不合適，則會(huì)被判定“越位”.在我們的高中數(shù)學(xué)課堂上，教師和學(xué)生都有著明確的定位，然而很多教師受原有教學(xué)思維的束縛，出現(xiàn)擠占學(xué)生課堂主體地位的現(xiàn)象，筆者認(rèn)為這是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中的“越位”現(xiàn)象，要積極予以避免.

越位現(xiàn)象一、直接點(diǎn)出學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤

“要建議，而不是強(qiáng)迫他人接受”，這是波利亞在總結(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)行為時(shí)提出的“教師十誡”之一，這一原則要求我們面對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤時(shí)，不要直接點(diǎn)出其錯(cuò)誤性，因?yàn)檫@很容易讓學(xué)生產(chǎn)生一些逆反心理，甚至對(duì)教師和學(xué)習(xí)形成一種抵觸情緒.如果出現(xiàn)這樣的情況，我們?cè)诮虒W(xué)中的一系列努力都將勞而無(wú)獲.

現(xiàn)象舉例：比如有這樣的例題，已知函數(shù)f（x）=asin2x+cos2x（a∈R）圖像中的對(duì)稱(chēng)軸方程為定a的取值？

在教學(xué)過(guò)程中，我們很多同行將學(xué)生的錯(cuò)誤直接點(diǎn)出來(lái)，這樣的處理方式在很大程度上削弱了學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，同時(shí)也讓學(xué)生失去了一次很好的探究機(jī)會(huì)，無(wú)助于學(xué)生問(wèn)題分析能力的提升.

通常來(lái)講，如果沒(méi)有刻意地提醒，學(xué)生也不會(huì)對(duì)a的取值情形進(jìn)行檢驗(yàn)，但是如果提醒學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)，這又剝奪了學(xué)生思考的權(quán)利，因此對(duì)教師而言，這確實(shí)是一次小小的考驗(yàn)，稍不留神，就出現(xiàn)了越位的情形.

教學(xué)對(duì)策：在上述問(wèn)題的處理過(guò)程中，筆者認(rèn)為一種相對(duì)較好的處理方式應(yīng)該是指導(dǎo)學(xué)生探求一題多解的方法，學(xué)生自然會(huì)在不同處理方法中探求答案的差別，這也將在很大程度上糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，進(jìn)而對(duì)解題的一般化規(guī)律進(jìn)行解決.

另外一個(gè)解題的方法是從正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸著手，即對(duì)應(yīng)的函數(shù)值應(yīng)該是該函數(shù)的最大值或最小值，即這樣學(xué)生必然會(huì)展開(kāi)思考：為什么兩種方法得出的結(jié)論存在差別，他們也會(huì)自發(fā)地從區(qū)別點(diǎn)著手，將代入函數(shù)式中，發(fā)現(xiàn)原先方法中的α根本就不是而是他們進(jìn)一步探求原因，總結(jié)出在對(duì)形如“asinx+bcosx”的函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)變，得到“時(shí)，必須要結(jié)合a，b的取值特點(diǎn)來(lái)確定α終邊所處象限，或是結(jié)合α終邊所處象限來(lái)確定a，b的取值特點(diǎn).這樣的總結(jié)顯然有助于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)過(guò)程中避免一些失誤.

越位現(xiàn)象二、過(guò)多地補(bǔ)充知識(shí)和方法

在教學(xué)過(guò)程中很多教師總感覺(jué)課堂時(shí)間太短，很多內(nèi)容來(lái)不及講，同樣是一套教材，同樣是一個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)，為什么他們的課堂總是如此擁擠，為什么他們有如此多的內(nèi)容要補(bǔ)充？這很大程度上源自教師的主觀臆斷，在他們看來(lái)，只要多教一些公式或者方法給學(xué)生，學(xué)生就能在處理問(wèn)題時(shí)擁有更加開(kāi)闊的視角，他們也更容易在競(jìng)爭(zhēng)過(guò)程中搶占先機(jī)，進(jìn)而在考試中拔得頭籌.這樣的思路指導(dǎo)導(dǎo)致教師在課堂上無(wú)限度地進(jìn)行挖掘和拓展，在數(shù)學(xué)知識(shí)的深度和廣度等方面出現(xiàn)了嚴(yán)重失控的情形，即便如此，教師還總感覺(jué)自己的講解或補(bǔ)充還不夠深入全面，難度還沒(méi)有達(dá)到要求.

這種越位現(xiàn)象最極端的情形出現(xiàn)在高一數(shù)學(xué)課堂，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)校的教師都是采用循環(huán)教學(xué)的模式，即很多教師都是在高三教學(xué)結(jié)束之后，轉(zhuǎn)到高一年級(jí).對(duì)這些教師而言，他們習(xí)慣了高三快節(jié)奏、高密度的教學(xué)，他們組織課堂的基本思路依然還是停留在對(duì)高三學(xué)生的指導(dǎo)上，為了指導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行熟練與鞏固，他們很可能將高考數(shù)學(xué)的模擬題和真題直接呈現(xiàn)在課堂上.這樣的教學(xué)只會(huì)給學(xué)生一種疲于奔命的感覺(jué)，學(xué)生自然感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“壓力山大”.

現(xiàn)象舉例：當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)均值不等式時(shí)，有的教師會(huì)將柯西不等式提前教給學(xué)生，這可是選修4系列中的內(nèi)容，這是明顯的越位現(xiàn)象.而且在教學(xué)過(guò)程中，由于時(shí)間和基礎(chǔ)的限制，學(xué)生根本沒(méi)有時(shí)間對(duì)這一知識(shí)形成深度的體會(huì)和感悟，他們只能機(jī)械地模仿，并采用生搬硬套的方式來(lái)完成解題，而且部分學(xué)生連等號(hào)什么時(shí)候成立都沒(méi)有確定.所以，即便在新授課的過(guò)程中，學(xué)生依葫蘆畫(huà)瓢地完成了這一理論的運(yùn)用，但是時(shí)間一長(zhǎng)，這些內(nèi)容還是會(huì)徹底地遺忘干凈.

教學(xué)對(duì)策：就教學(xué)而言，按部就班、循序漸進(jìn)是教學(xué)的基本原則，因此我們非常反對(duì)教師提前將后階段的特殊結(jié)論或方法提前滲透給學(xué)生，尤其反對(duì)教師在高一教學(xué)高三化，將高考難度要求的問(wèn)題直接展示在學(xué)生面前.在教學(xué)過(guò)程中，課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的實(shí)際需要應(yīng)該是我們組織教學(xué)的基本依據(jù).教師要妥善分析教材，同時(shí)充分研究學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，將各種方法在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候以適當(dāng)?shù)姆绞秸故境鰜?lái)，這樣的教學(xué)才是我們所追求的.就教學(xué)而言，即便我們要超過(guò)教材的限制，補(bǔ)充一定的內(nèi)容，這種補(bǔ)充應(yīng)該是對(duì)應(yīng)學(xué)生的需要而進(jìn)行的.筆者對(duì)此還有一個(gè)想法，即我們所補(bǔ)充的應(yīng)該是一個(gè)情境，應(yīng)該讓學(xué)生在情境的引領(lǐng)下完成對(duì)補(bǔ)充內(nèi)容的認(rèn)識(shí).

越位現(xiàn)象之三、替代學(xué)生完成問(wèn)題的表征

問(wèn)題表征應(yīng)該是問(wèn)題解決的關(guān)鍵步驟，它是研究者通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，建構(gòu)問(wèn)題空間的基本過(guò)程，這一過(guò)程反映著學(xué)生對(duì)問(wèn)題最原始的認(rèn)識(shí)和最初步的分析，然而教師在教學(xué)中經(jīng)常帶著學(xué)生審題，最終將表征的一系列操作一股腦地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，這也是一種典型的越位現(xiàn)象.

現(xiàn)象舉例：比如有這樣的例題，已知有一個(gè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{an}，對(duì)于n=1，2，3，…，有an+1=如果存在m∈N*，當(dāng)n>m且an是奇數(shù)時(shí)，則an恒定為某常數(shù)p，請(qǐng)確定p的值.

上述問(wèn)題的審題是一大難點(diǎn)，很多學(xué)生也就是被卡在這道關(guān)卡上.和常規(guī)的數(shù)列問(wèn)題不同，這道題目的初始項(xiàng)是未知的，因此本題應(yīng)該視為“抽象數(shù)列”，部分教師直接代替學(xué)生進(jìn)行分析，將問(wèn)題隱含的意思揭示出來(lái)：如果an為奇數(shù)，則an+1=3an+5，則an+1明顯為偶數(shù)；如果an為偶數(shù)，則可以將表達(dá)式中的2提取出來(lái)，因此存在最大正整數(shù)k，讓an=2kb，此時(shí)的b是奇數(shù)，而an+1=b.這樣問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的數(shù)列就是一個(gè)奇偶相間的數(shù)列.則題目條件“如果存在m∈N*，當(dāng)n>m且an是奇數(shù)時(shí)，則an恒定為某常數(shù)p”可以表征為：“假設(shè)an為奇數(shù)，則an+1=3an+5為偶數(shù)，an+2=為奇數(shù)且和an相等”，這將即可確定an的取值，即p的取值.

數(shù)學(xué)對(duì)策：數(shù)學(xué)難免會(huì)出現(xiàn)一些難題，教師切不可替代學(xué)生完成問(wèn)題表征，而應(yīng)該在關(guān)鍵性的節(jié)點(diǎn)通過(guò)啟發(fā)性的問(wèn)題指導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)思路，比如上述問(wèn)題，教師可以提出問(wèn)題：（1）假設(shè)an是一個(gè)特定偶數(shù)，請(qǐng)分析k取怎樣的數(shù)值時(shí)可以使得an+1是一個(gè)奇數(shù)？（2）請(qǐng)分析數(shù)列的各項(xiàng)取值有何特點(diǎn)？通過(guò)這樣的問(wèn)題，我們可以對(duì)學(xué)生提供“引而不發(fā)”的點(diǎn)撥，進(jìn)而讓學(xué)生在更深入的分析中明確問(wèn)題，提升問(wèn)題表征的能力.

綜上所述，數(shù)學(xué)教學(xué)在教學(xué)中要善于掌控介入學(xué)生學(xué)習(xí)的尺度，切不可發(fā)生“越位”的失誤，須知足球比賽中的越位會(huì)導(dǎo)致進(jìn)球無(wú)效、喪失球權(quán)等后果，課堂的越位會(huì)讓我們的課堂教學(xué)功虧一簣，導(dǎo)致課堂教學(xué)的失敗.W