學習進階：思維課堂從形式走向本質*

☉江蘇省宜興市丁蜀高級中學 趙 平

☉江蘇省宜興市丁蜀高級中學 徐 靜

一、問題背景

近十年，中小學課堂改革行動可謂如火如荼，“學為中心，以學定教，還課堂于學生”的理念唱響課堂教學的主旋律，眾多新課堂模式應運而生.縱觀這樣的課堂，最突出的變化在于限定教師的講授時間：不超過30或20分鐘，更有甚者規定不超過15分鐘，好像教師講的越少或者不講，課堂就顯得越生本、越高效，教師的地位在逐步邊緣化.無視學情，忽略內容，盲目求同，試圖通過對課堂時間分配“一刀切”最大限度凸顯學生的主體地位，這樣的改革真的能促進學習成效嗎？

筆者認為，課堂是生活的，生態的，生命的，是教師、學生、教學素材、教學媒體以及所處環境等多元要素交互作用的共同體，削減或嚴控教師講授的時間，未必會真正激發學生的主觀能動性，倘若教師真的退出歷史舞臺，那么課堂將變得更淺薄.反觀當前課堂改革現狀，有些方面存在異化的趨勢：（1）改革者聚焦于學生的顯性行為，有無小組合作，有無示范演練，有無探究活動等，卻無視學生的主觀愿望，無視學生的思維發展差異；（2）過度強調學生的主體學習，忽視教師的有意義引導，試圖以“學生的自主發現”替代“教師的有效啟發”.這樣的課堂依然是低效的，亟待改善.

學習進階理論揭示學生在一個較大時間跨度內學習某一主題所遵循的持續連貫，逐步精致的思維路徑.學習進階刻畫學習者由低認知層次向高認知層次發展的動態過程.教師可依據學習進階理論探索“為學生設計怎樣的學習路徑”，促進學生的深度學習.思維課堂就是在學習進階理念的引領下，學生自主發現和建構知識，師生互動合作解決問題的課堂.思維課堂一般包括舊知激活、問題驅動、自主發現、自主建構和學以致用五個操作環節，下面結合筆者在學校對外公開課中開設的一節微專題課——“探究橢圓中一類斜率之積為定值的問題”，談些體會，以饗讀者.

二、案例分析

（一）進階起點

本節內容安排在高三一輪復習完成橢圓標準方程和幾何性質專題復習之后，旨在提煉解析幾何的解題策略，培育學生的數學素養.

進階起點1：初中學生已對圓的幾何性質比較熟悉，學生知道圓的直徑所對的圓周角為直角，也能從動點對兩定點的張角為直角判斷動點軌跡為圓.

進階起點2：學生從幾何直觀的角度對圓和橢圓的幾何特征的相似性有一定的感性認識，了解橢圓可看成圓發生形變后的圖形.

（二）進階終點

引導學生通過“圓上任意一點與直徑兩端點連線斜率之積為定值-1”探究“橢圓上任意一點與過橢圓中心的弦的兩端點連線斜率之積為定值”，認清解析幾何中定值的代數本質，體會恒等原理和類比推理、特殊到一般的思想方法.

（三）進階障礙分析

障礙1：學生對曲線的方程和方程的曲線缺乏深刻的認識，概念理解不嚴密.根據“動點到兩定點連線斜率之積為-1”求動點軌跡時，學生忽視兩線斜率存在且非零的隱含條件，從而在所求軌跡方程中沒有除去兩個定點，呈現思維定式負效應的影響.

障礙2：學生對類比圓中斜率之積為定值得出橢圓中相應的結論，只是流于形式和結果，對于形變引起的斜率變化缺乏本質認識，也未能用聯系的觀點看問題.

障礙3：學生能用坐標法證明橢圓中有關定值的結論，但只是程序化的模仿，缺乏對解析幾何本質思想的認識，對證明定值的策略沒有形成系統，無法靈活地遷移至新的問題情境中.

（四）學習進階視域下的微專題片斷

1.舊知激活設懸念

師：請同學們思考這樣一個問題：已知平面內A，B兩點的坐標分別為（-2，0）和（2，0），P為任意一動點，若kPA·kPB=-1，則點P的軌跡是什么樣的曲線？

生1：應該是以AB為直徑的圓，方程為x2+y2=4.

師（追問1）：請你再審視一下“kPA·kPB=-1”這個條件，覺得結果表達得準確嗎？

生1：噢，還要考慮斜率存在，好像還不能為零，這樣的話，還要去掉A，B兩個點，所以曲線方程應該為x2+y2=4（x≠±2）.

師：很好，思維越來越嚴謹了.

師（追問2）：你是怎樣得到這個結果的呢？

生1：我是從幾何性質角度直接看出來的.

師（豎起拇指）：夠厲害，你的幾何直觀能力很強！那么，還有更具體的判斷方法嗎？

師（追問3）：你對于kPA·kPB=-1的幾何意義怎么看？

生2：首先說明PA⊥PB，進一步說明點P在以AB為直徑的圓上，所以kPA·kPB=-1.

師（追問4）：很好，你能概括出一個一般性的結論嗎？

生2：圓上任意一點對直徑的張角為直角，與直徑兩個端點連線的斜率之積為定值-1.

進階策略：故布疑陣設懸念——本節課題為“探究橢圓中一類斜率之積為定值的問題”，卻偏偏從圓的問題引入，學生開始會存“疑慮”，但也激發了探明真相的好奇心.先行組織聚學情——“依據張角直角判斷軌跡是圓”符合學生的原有的認知經驗，給學生以親切感.問題表征明細節——問題的關鍵節點“垂直”的翻譯，通過層層追問，引發學生從角、斜率甚至向量多角度思考，對斜率存在與否的辨析，訓練思維的嚴密性，從特殊到一般引導學生歸納結論，其中突出用斜率表示定值，為探究橢圓埋下暗線.

2.自主發現并建構

師：類比剛剛研究圓中的結論，大家覺得橢圓中是否也有相似的結論呢？首先，圓周角是固定的直角，那么橢圓上任意一點對長軸的張角也固定嗎？

生4：不固定，會變化，感覺在短軸頂點處張角最大.

師（追問5）：角在變，PA，PB的斜率顯然也在變，那么kPA·kPB的值變嗎？

生4：不變，生3已經作出了證明.

師（追問6）：你能從橢圓方程中找到定值的線索嗎？生4：應該和橢圓中的a，b有關.

師：想必大家心中已有猜測，那么對于一般的橢圓是否也有這樣的性質？如何描述？如何證明？請大家自己嘗試完成.

進階策略：變式引申顯聯系——改變題設，揭示圓與橢圓的相似性，喚起學生對它們內在聯系的關注與探究；問題驅動拓思維——用類比的方式鋪設問題鏈，引導學生的關注點聚焦于斜率之積為定值這一在圓與橢圓中共有的性質，體現前后一致，思維連貫；適度留白彰生本——從特殊的逐步提煉到一般的嚴格推證，給學生留下嘗試、反思、調整、分享的空間，課堂盡顯生本味.

3.學以致用育素養

圖1

證明：因為直線PA經過原點，所以可設P（x1，y1），則A（-x1，-y1），C（x1，0）.又因為B是橢圓上異于P，A的一點，所以可設B（x2，y2）.由“橢圓上任意一點與過橢圓中心的弦的兩端點連線斜率之積為定值-”這一結論可

進階策略：“垂直”表征合理化——此題為證明題，所證目標平面的“線線垂直”，由于表征形式多樣，譬如：向量數量積為0、斜率乘積為-1，勾股定理，余弦定理等，如何合理表征，至關重要，需引導學生聯系已知條件信息，結合幾何圖形特征，準確選擇驗證斜率乘積為-1；借用引理巧轉化——喚醒學生的幾何直觀，關注特征點P，A的對稱性以及B的任意性，化歸橢圓圓周角性質定理的適用模型，巧妙；運算簡化育素養——利用三點共線，結合中間結論，稍作代換，目標達成，運算量大大降低，充分發展學生的數學運算素養.

三、教學后記

學習進階理論引領下的思維課堂通過契合學生最近發展區的問題情境激疑生趣，通過問題鏈及有效追問的環節為學生的學習內驅力指明發展的方向，通過類比推理來自主發現和建構體驗核心概念的自然生成并靈活應用于新的題境，通過教師的角色轉換和功能優化真正實現課堂從“教知識的講堂”變為“化素養潤思想的學堂”.當然，縱觀課堂環節，一些細節處理仍有瑕疵，譬如，教師讓學生歸納和推導橢圓圓周角性質定理前，對于橢圓上兩動點關于中心對稱這一位置沒有指明，缺少進階“支架”.又如，在課堂總結時，是否可以對斜率之積為常數的其他類型對軌跡的影響作一設問，如“斜率之積為正數時的曲線是什么”？這樣，學生的研究性學習興趣被調動，課堂的開放性和衍生性得以彰顯.瑕不掩瑜，在落實五環節的過程中，只要尊重學情差異和學生內需，因材施教，動態生成，一定可以有效落實適合學生可持續發展的數學核心素養.