圓錐曲線備考方略
——觀考點(diǎn)，析考題，明考向

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué) 沈 俊

圓錐曲線是每年高考的重點(diǎn)，大約占總分的13%.大多數(shù)情況下每年有兩道題，一道填空題，一道解答題.圓錐曲線的內(nèi)容雖然比較多，涉及的知識(shí)面也比較廣，但它的基本題型還是有“跡”可循的，考查的角度主要涉及以下幾個(gè)方面：圓錐曲線的定義；圓錐曲線的方程及基本量；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等.

一、圓錐曲線的定義

圓錐曲線的定義盡管簡(jiǎn)單，但意義很重要，是推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程和研究幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)和根源，高考常常涉及，在近年各省高考試題中都有體現(xiàn).回歸定義和有意識(shí)地利用定義是同學(xué)們需要加強(qiáng)的一個(gè)認(rèn)識(shí)和環(huán)節(jié).把握?qǐng)A錐曲線的定義可以從兩個(gè)方面入手，即定義表達(dá)式和限制條件.

例1 已知F1，F(xiàn)2是橢圓橢圓上任意一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為_(kāi)_____.

解：如圖1所示，設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n.

根據(jù)橢圓定義有m+n=20.

在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2=m2+n2-2m·n·cos60°.

又因?yàn)閍=10，b=8，

所以|F1F2|=2c=12.故m2+n2-m·n=144，

則（m+n）2-3m·n=144，得202-3m·n=144.

圖1

點(diǎn)評(píng)：定義是解決一切數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要理論依據(jù).橢圓、雙曲線、拋物線其本質(zhì)是“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離之比是一個(gè)常數(shù)的軌跡”.在熟練掌握定義本質(zhì)的基礎(chǔ)上，深入把握其內(nèi)涵與外延，才能有效快速地運(yùn)用定義進(jìn)行解題.

二、曲線的方程和基本量

圓錐曲線方程和幾何性質(zhì)是圓錐曲線部分考查的核心，探究幾何性質(zhì)往往與定義、標(biāo)準(zhǔn)方程相聯(lián)系.圓錐曲線的離心率、焦點(diǎn)是考查的熱點(diǎn)，深刻理解并靈活掌握幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

分析：先尋求問(wèn)題涉及的基本量，將其化為曲線方程的范圍問(wèn)題，再利用所求的范圍來(lái)探求離心率e的范圍.

解：設(shè)Q（x，y），A（-a，0），B（a，0）.

因?yàn)閥≠0（當(dāng)y=0時(shí)，點(diǎn)Q與A或B重合），

點(diǎn)評(píng)：掌握?qǐng)A錐曲線各量的幾何意義，充分利用它們的幾何位置關(guān)系，是解決這類題目的關(guān)鍵.對(duì)于求圓錐曲線離心率的范圍問(wèn)題，充分利用圓錐曲線自身的范圍是解決問(wèn)題的方法之一，要根據(jù)圓錐曲線自身的范圍建立相應(yīng)的不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.在沒(méi)有限制條件下，橢圓的離心率滿足01，拋物線的離心率e=1.

三、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

題中常涉及線段的垂直、中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等，在分析和解決問(wèn)題時(shí)，要將韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求等思想方法綜合考慮.因此，要注意歸納與提煉數(shù)學(xué)思想方法，以快速達(dá)到優(yōu)化解題的成效.

例3 已知直線y=（a+1）x-1與曲線y2=ax有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.

分析：判斷曲線y2=ax是否是拋物線，當(dāng)a=0時(shí)，是直線y=0；當(dāng)a≠0時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線組成的方程組進(jìn)行求解.

點(diǎn)評(píng)：在解題中，一方面學(xué)生常忽視a=0的情況，誤以為y2=ax就是拋物線；另一方面不討論二次項(xiàng)系數(shù)

四、實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題

實(shí)際應(yīng)用題是高考必考內(nèi)容，且常考常新，其對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力的培養(yǎng)具有重要作用.在解答圓錐曲線應(yīng)用題時(shí)一般分為四個(gè)步驟：

步驟1：審題；

步驟2：建模；

步驟3：數(shù)學(xué)問(wèn)題求解；

步驟4：回答實(shí)際問(wèn)題.

例4“神舟”五號(hào)載人飛船進(jìn)入的預(yù)設(shè)軌道是以地球的中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.如圖2，橢圓的中心在原點(diǎn).設(shè)近地點(diǎn)為A，遠(yuǎn)地點(diǎn)為B，地球半徑為R.

（1）從數(shù)學(xué)角度分析，僅知道近地點(diǎn)A的高度m，能否確定飛船飛行的橢圓軌道的方程？如還知道遠(yuǎn)地點(diǎn)B的高度n呢？

（2）已知m與n，求飛船飛行的橢圓軌道的方程.

（3）若m=200公里，n=350公里，已知地球半徑R＝6371公里，求飛船飛行的橢圓軌道的方程.

分析：在熟悉了科學(xué)背景與一些常用名詞后，熟練運(yùn)用橢圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解即可.

解：（1）如僅知道近地點(diǎn)A的高度，不能確定飛船飛行的橢圓軌道的方程；如還知道遠(yuǎn)地點(diǎn)B的高度，則可以確定飛船飛行的橢圓軌道的方程.

圖2

（3）因?yàn)閙=200公里，n=350公里，R＝6371公里，將其代入（2）中的方程，解得飛船飛行的橢圓軌道的方程為

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線與實(shí)際生活有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，如人造地球衛(wèi)星的軌道是橢圓，雙曲線時(shí)差定位法在國(guó)防、軍事、航天、救災(zāi)搶險(xiǎn)等方面有著重要的運(yùn)用，拋物線也是航天中發(fā)射與回收拋物體的運(yùn)動(dòng)軌跡.

在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中要注意領(lǐng)會(huì)培養(yǎng)、強(qiáng)化提高解析幾何內(nèi)容滲透出的數(shù)學(xué)思想和方法.比如分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，以及坐標(biāo)法、定義法、整體處理法、配方法、換元法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等數(shù)學(xué)方法.注意訓(xùn)練通法，養(yǎng)成良好的思考問(wèn)題的習(xí)慣，以及注重解題途徑和方向的選擇.這不但能使問(wèn)題快速得解，而且能活躍同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維.H