用方程的思想解直線與圓錐曲線關系問題兩例

☉湖北大學附屬中學 李 俊

函數與方程思想是中學數學中重要的思想方法之一，它從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程（組）），然后通過解方程（組）使問題得到解決.直線與圓錐曲線關系中的許多問題，若能注意運用函數與方程的思想去分析，則往往能居高臨下，較快較易地找到解題的突破口，本文舉兩例加以說明，供大家參考.

例1 已知動點P到點F（1，0）的距離是它到直線x=4的距離的一半.

（1）求動點P的軌跡C的標準方程.

（2）當動點P在第一象限時，在直線y=t（t<0）上存在點Q，滿足以線段PQ為直徑的圓過原點，且直線PQ與⊙O：x2+y2=3相切.求證：t是定值.

圖1

（2）運用函數與方程思想去分析，可設P（x0，y0），Q（x1，t），其中3x02+4y02=12.這里引入了3個參數x0（y0），x1，t.由于點P與點Q是相關點，t是目標量，因此需要探求t與x0（y0），x1的關系式（方程組），然后通過解方程組使問題得到解決.

具體證法如下：由PQ·OH=OP·OQ及PQ2=OP2+OQ2，

聯立①②消去x1，得

上面我們用函數與方程的思想方法，只設點的坐標，不設直線方程，通過研究目標變量與其他坐標變量的關系，很漂亮地解決了問題，比一般解法中設直線PQ及直線OQ的方程，然后用交軌法去求證t是定值要簡單、直接.

有些直線與圓錐曲線的關系問題，設直線的方程往往很難解決，主要原因是運算太煩瑣，但如果我們用函數與方程的思想方法去分析，卻往往有意想不到的驚喜.下面我們再看一例.

圖2

多么簡潔巧妙的解法！本題如果按常規思路去設直線方程求解，其運算難度可想而知.下面我們再看一個練習.

練習：如圖3，已知直線l過坐標原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上.若點A（-1，0），B（0，8）關于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線C的方程.

解析：本題的常規解法是設出直線l的方程y=kx（k>0），利用對稱性條件求出B，A的對稱點B再代入拋物線方程C：y2=2px（p>0），可求出k和p的值，解決問題，計算量不小.下面我們再試試用函數與方程思想來思考這個問題，其解法如下：

圖3

通過上面兩個例子的分析，我們不難發現：由于直線和圓錐曲線都是用二元方程來刻畫的，因此當我們設出點的坐標（參數），經過對條件的相應轉換，列出相關參數的方程組，就可以通過解方程組使問題得到很好的解決.因此，函數與方程思想是研究和解決直線與圓錐曲線關系問題的重要工具.