經歷生成探究過程，培育學生數學素養(yǎng)
——“15.1（1）平方差公式”的教學設計與思考

☉上海市虹口區(qū)教師進修學院 胡 軍

☉上海市民辦新華初級中學 李建華

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養(yǎng)是現代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng).作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習所需要的數學知識與技能，更要發(fā)揮數學在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用.”《上海市中小學數學課程標準（試行稿）（2004版）》也明確指出：“提高學生的數學素養(yǎng)，培育終身學習的基礎.”由此可見，“數學素養(yǎng)”是指導、引領、輻射數學課程教學開展的目標，培育學生的數學素養(yǎng)是數學課堂教學的應然追求.為此，數學教育的目標定位和教學活動都要從“數學素養(yǎng)”的高度進行，培育學生數學素養(yǎng)是深化數學課堂教學改進的主旋律.本文結合“15.1（1）平方差公式”的教學設計，談談重視經歷生成探究過程，培育學生數學素養(yǎng)的幾點思考.

一、數學教學中的生成探究

何為“探究”？簡單來說，“探究”就是對某一問題進行深入研究.“探究”，對于教師而言，則是一種打破以往單向傳遞學科知識的教學方法，引導并幫助學生運用自己所學知識解決實際問題；對于學生而言，是一種不同于以往被動接受知識的學習方式.“探究”運用于數學教學，主要指學生在數學教師指導下以類似科學研究的方式，以學生獨立自主學習和合作討論為前提，以現行教材為基本探究內容，以學生周圍世界和生活實際為參照對象，獲取相關知識、應用數學技能、解決問題并生成智慧的一種學習方式.學生在這一探究過程中，經歷表達問題、提出問題、探究問題、討論問題，從而發(fā)現新知識、掌握新技能的過程，培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng).

“探究”在數學教學設計中有著重要的意義，探究式的教學方法也必須恰當地鑲嵌在具體的數學課堂教學環(huán)節(jié)中，才能使學生在經歷知識生成探究的過程中提高數學素養(yǎng).本文以“15.1（1）平方差公式”的教學設計為例，引導學生運用多項式與多項式的乘法法則的知識，借助類比與觀察等探究方法，激發(fā)學生在推導平方差公式的過程中發(fā)現新的問題，產生學習新知識的興趣，從而形成關鍵能力、必備品格和正確的價值觀.教師利用復舊孕新、探究新知、例題剖析、鞏固訓練、自主小結、分層作業(yè)這六大環(huán)環(huán)相扣的教學環(huán)節(jié)，讓學生在一系列問題情景中，經歷用文字語言和符號語言表述平方差公式，借助圖形面積的推導過程了解平方差的幾何背景這一生成探究過程，幫助學生正確把握平方差公式的特征及簡單運用，提高學生在生活中應用數學的意識.

本節(jié)課教師在幫助學生探究平方差公式這一過程中，幫助學生能夠自主推導出平方差公式，能夠正確把握平方差公式的特征，能夠使平方差公式教學的重、難點在探究過程中逐步得到解決，進一步發(fā)展了學生的符號意識和推理能力，幫助學生體會到數形結合思想，發(fā)展了學生的幾何直觀，使得學生具備在文字語言表述、代數式符號表述及圖形語言表述這三者之間相互轉換的數學能力，提高學生的數學語言交流表達能力.其具體教學設計為以下六大環(huán)節(jié).

二、生成探究的過程設計

環(huán)節(jié)1：復舊孕新，引入新課

師：回顧上節(jié)課所學的多項式與多項式的乘法，法則是什么？有何具體應用？

生：法則是（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，可以進行多項式與多項式的乘法計算.

師：若將上式中的（m+n）換為（a-b），即得到（a+b）（ab），那么它的結果是什么呢？請大家計算.

生：（a+b）（a-b）=a2-ab+ba-b2=a2-b2.

師：觀察上面這個算式，你發(fā)現這個乘法算式有何特征？

生：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差.

師：這就是我們今天要學習的內容（板書課題：平方差公式）.

設計說明：數學知識具有很強的系統(tǒng)性，很多新知識都是在已有知識的基礎上形成和發(fā)展起來的.學生復習鞏固已學的知識，有利于新知識和舊知識的銜接，便于教師循序漸進地開展教學.因此，教師可以根據新知識和舊知識的聯系，在復習舊知識的基礎上，自然、巧妙地引入新課.本節(jié)課前，因為學生已經掌握了多項式與多項式的乘法，所以在復習多項式與多項式的乘法的基礎上，引導學生計算特殊的多項式與多項式相乘，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，引出平方差公式.這樣的設計既復習了舊知，為后面學習平方差公式做了鋪墊，又讓學生感受了從一般到特殊的認識規(guī)律，體驗到平方差公式與多項式乘法的關系，增強數與式的運用意識.

環(huán)節(jié)2：探究新知，內化新知

1.平方差公式的表述.

師：如何用文字語言和符號語言表述平方差公式？

生1：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差.

生2：（a+b）（a-b）=a2-b2（公式中的a和b可以是任意的數或代數式）.

2.平方差公式的幾何背景.

師：如圖1和圖2，你能根據下列圖形的面積關系說明平方差公式嗎？

生1：由圖1知，箭頭左邊的圖形是一個長和寬分別為（a+b）和（a-b）的長方形，其面積為（a+b）（a-b）；箭頭右邊的圖形是在一個邊長為a的大正方形內挖去一個邊長為b的小正方形，其面積為a2-b2，所以可得：（a+b）（ab）=a2-b2.

生2：由圖2知，箭頭左邊的圖形是由兩個梯形拼成的一個長和寬分別為（a+b）和（a-b）的長方形，其面積為（a+b）（a-b）；箭頭右邊的圖形是由兩個梯形拼成的，它是在一個邊長為a的大正方形內挖去一個邊長為b的小正方形，其面積為a2-b2，所以可得：（a+b）（a-b）=a2-b2.

師：通過以上兩種拼法，均可得到平方差公式，我們可進一步認識平方差公式的特點.

3.完善對平方差公式的認識.

［說一說］

師：下列各式中，哪些能用平方差公式計算？為什么？

生：能用平方差公式計算的有：（1）（3）（5）.

師：公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a和b可以是任意的數或代數式.

設計說明：數學實踐告訴我們，若學生能用三種語言復述公式和解釋公式所揭示的本質屬性，那么他們對公式的理解就深刻.因此，應加強三種數學語言的互譯，引導學生把握文字語言表述、代數式符號表述及圖形語言表述間的相互轉換，提高數學語言交流表達能力，同時強化學生的抽象思維.通過學生小組合作完成剪拼游戲活動，利用這些圖形面積的相等關系，進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性，滲透了數形結合思想，讓學生了解平方差公式的幾何背景，體會到代數與幾何的內在聯系，感悟數形結合思想，發(fā)展幾何直觀.掌握平方差公式的結構特征是正確運用公式的前提，在“說一說”數學活動中，引導學生觀察、分析公式的結構特征及公式中字母的廣泛含義，加深學生對公式的理解，提高合作意識.

環(huán)節(jié)3：例題剖析，強化新知

師：請同學們思考例1.

例1 計算：

（1）（2x+y）（2x-y）；

（2）（-x-y）（-x+y）；

（3）（m+n）（m-n）（m2+n2）.

生答略.

師：請同學們思考例2.

例2 計算：

生答略.

設計說明：例題教學是數學教學的重要環(huán)節(jié)，是將知識、技能和數學思想方法聯系起來的紐帶.好的例題能引導學生在應用新知的過程中加深對所學知識的理解，搭建起新知與舊知的橋梁，從而完善學生的知識系統(tǒng)，擴大知識網絡.通過例題教學，不僅能培養(yǎng)學生的數學學習能力和思維能力，而且能以點帶面，提升學生的感性認識，幫助學生領悟數學思想方法，探尋并掌握學習的“捷徑”，大大提高教與學的效率，深化數學知識的理解.本環(huán)節(jié)中，通過對例題的分析，引導學生進一步探究平方差公式的運用，熟悉平方差公式的本質特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件.在認清公式的結構特征的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住公式運用的核心，學生在公式的運用中經歷數學知識和方法的遷移過程，在這一探究過程中發(fā)展能力，激活思維.

環(huán)節(jié)4：鞏固訓練，深化新知

師：請同學們完成以下練習.

［練一練］

1.計算：

（1）（2x+1）（2x-1）；

2.在下列括號內填上恰當的多項式：

（1）（2x+y）（ ）=4x2-y2；

（2）（ ）（ ）=16-n2.

［試一試］

3.小李同學去商店買了單價是9.8元/千克的糖果10.2千克，售貨員剛拿起計算器，小李就說出了應付的錢，結果與售貨員計算出的結果相吻合.售貨員很驚訝，你知道小李同學是怎樣計算的嗎？

設計說明：課堂練習是學生掌握知識、形成技能，培養(yǎng)學生運用知識解決實際問題的能力的有效手段，是學生學習數學的重要環(huán)節(jié).它對優(yōu)化課堂教學過程，提高課堂教學效率，拓展學生思維空間，起著重要的作用.

本環(huán)節(jié)“練一練”的設計旨在考查從正、反兩方面靈活運用平方差公式，其中，題1是檢測學生正用公式的情況，題2由結果追溯算式中的相同項和相反項，是檢測學生逆用公式的情況，其關鍵在于理解公式的結構特征，有利于鍛煉學生的逆向思維能力，也為后續(xù)的學習做好鋪墊.題2的第（2）題有兩種填法，屬開放設計，這種變式操練有利于鍛煉學生的發(fā)散思維，加強學生對公式的結構特征的理解.

課堂練習的內容設計要從學生周圍熟悉的事物中尋找富有生活情趣的數學習題，讓他們體驗到數學的內在價值，做到學以致用，從而激發(fā)學生的探索欲望，促進他們和諧發(fā)展，讓數學和學生的生活聯系起來，以學生的生活經歷為主體，營造豐富的、生動的、真實的數學學習氛圍，賦予數學學習鮮活的現實意義.這樣，學生不但會感覺到數學的親切，更會對此產生興趣.本環(huán)節(jié)的“試一試”就是運用平方差公式解決的實際問題，體現了數學來源于生活，服務于生活，學生感受到學習有用的數學，在探究學習過程中，幫助學生自主建構關于平方差公式的知識，同時加深學生對平方差公式的理解，提高知識遷移能力.

環(huán)節(jié)5：自主小結，概括提升

師：請同學們結合下面的提示，對本節(jié)課的學習進行小結.

一個公式……

一次探索……

一份自豪……

一點疑惑……

……

設計說明：課堂小結是對一節(jié)課的簡要歸結，是對學習過程的歸納反思，應該確保學生在小結環(huán)節(jié)的主體地位，留給他們充足的時間和空間，讓學生有機會暢談他們的體驗、感受和收獲，有機會表達他們的學習困惑和喜悅，提出建議和見解.因此，本環(huán)節(jié)設計了一系列“一”，旨在引導學生回答：通過本節(jié)課的學習，學會了什么？在學習過程中，感觸最深的是什么？感到最困難或自豪的是什么？想進一步探究的問題是什么？等等.這樣設計的小結具有開放性，不僅關注學生的學習結果，而且關注學生學習過程中的體驗和感受，兼顧學生的情感態(tài)度和價值觀.

環(huán)節(jié)6：分層作業(yè)，發(fā)展升華

必做題：

習題1.9.

選做題：

1.已知（x+35）2=13302921，試求（x+45）（x+25）的值.

2.計算：3（22+1）（24+1）…（232+1）+1.

設計說明：課后作業(yè)是學生鞏固課堂所學內容的有效活動，是課堂活動的延伸，是將教學活動轉化為學生自己的知識和能力的關鍵性環(huán)節(jié).本環(huán)節(jié)設計采取了分層作業(yè)的形式，分必做題和選做題，這樣處理有較大的彈性，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，讓不同的人在數學上得到不同的發(fā)展.同時，由于分層作業(yè)的分量、難度適宜，學生可自主選擇，完成的時間靈活，不同層次的學生完成作業(yè)不再有困難，這無疑有利于激發(fā)學生完成作業(yè)的樂趣，學生在完成作業(yè)的同時既感到輕松愉快，又具有一定的挑戰(zhàn)性，讓學生體會到知識探究的意義，培養(yǎng)學生的數學意識與數學素養(yǎng).

三、實踐思考

《上海市中小學數學課程標準（試行稿）（2004年版）》明確指出：“數學素養(yǎng)是人們通過數學教育及自身的實踐和認識活動，所獲得的數學基礎知識、基本技能、數學思想和觀念，以及由此形成的數學思維品質和解決問題能力的總和.”重視過程教學，充分暴露學生的認知發(fā)展變化的過程，教師加以科學引領，從而促進學生自主建構知識，這是培育學生數學素養(yǎng)的關鍵.數學過程教學很精彩，但必須是科學的、合理的、自然的，否則，過程教學僅僅是一種花架子，起不到培育數學素養(yǎng)的作用.

1.經歷數學經驗的生成過程，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學思維

數學公式反映了數學對象的屬性之間的關系，公式中的字母是數學對象高度概括的具體表征.許多數學知識是通過數學公式呈現的，從知識構建層面看，數學公式的產生、形成和衍生發(fā)展的過程即是數學知識的生成過程.學生對數學公式的理解程度決定了其對數學知識的達成度.實際上，有的教師不注重數學公式的推導過程或推導不到位，導致學生對知識的理解處于“夾生飯”狀態(tài)，這顯然對學生數學素養(yǎng)的發(fā)展是極為不利的.

審視平常的數學教學活動，很多時候我們容易走上“重結論、輕過程，重記憶、輕理解”的路子，很少在知識生成過程中花大工夫.其實讓學生經歷知識的生成過程具有更重要的價值，學生需要的不僅僅是知識本身，還有獲取知識和方法的親身體驗.引導學生經歷知識的生成過程，不僅可以使學生親自參與數學知識、結論形成的過程，幫助理解和掌握相應的數學知識，更可以給學生帶來探索的體驗、創(chuàng)新的嘗試.

本節(jié)課上，在平方差公式的教學中，首先，教師把學生引入到積極主動的公式生成的探究活動中來，讓學生在該探究活動的過程中真正經歷前人發(fā)現知識、結論的過程，再次自我發(fā)現，從而有效地實現知識的建構，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學學習能力；其次，教師促進每個學生參與公式生成的全過程，引導學生以清晰表象作為支撐，了解數學公式的來源、用途，深入理解公式與圖形之間的關系；再次，教師給學生充分“說”的機會，以培養(yǎng)學生語言的條理性和準確性，促進學生思維的邏輯性和創(chuàng)新性.

2.經歷數學知識的遷移過程，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學能力

只重視知識的傳授，單純依靠大量練習達到知識和技能的熟練的傳統(tǒng)教學只能培養(yǎng)“高分低能”，而培養(yǎng)不出具有數學素養(yǎng)的人才.解決數學問題的實質就是將原有知識、新知識進行聯系、比較和運用，通過遷移，掌握知識和技能并轉化為能力.把所要解決的問題與已有知識進行對比和聯想，找出其中隱含的關系，為解決問題開辟了廣闊的空間，實現了知識及方法的遷移.

把新知納入舊知的結構之中，實現了知識結構的重新建構.學生的學習是一個有目的、有計劃的認識過程.其中包括對所學內容的遷移，數學思想方法的遷移，而遷移能力是高素質人才必不可少的.在教學過程中，教師要引導學生運用類比、聯想、比較等方法將問題與知識結構、新知與舊知、未知與已知相連接，從舊的知識中抽象出可以遷移的知識，運用舊知學習新知，及時反思，建構新的知識結構，提高學生分析問題、解決問題的能力，提高數學素養(yǎng).

本節(jié)課，在平方差公式的探索中發(fā)展學生的符號意識.著名數學家羅素說過：“什么是數學？數學就是符號加邏輯.”符號是人們進行數學表示、計算、推理、交流的工具，培養(yǎng)符號意識是促進學生數學思考、積累數學活動經驗、提升數學素養(yǎng)的重要目標.建立符號意識的過程是學生經歷符號產生的過程，是學生體驗符號價值的過程，也是學生探索、創(chuàng)造符號的過程.只有充分經歷過程，學生的數學活動經驗才能不斷積累和豐富，數學素養(yǎng)才能不斷形成.

3.經歷數學思想的滲透過程，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學意識

數學思想方法是數學的精髓，學生只有領會了數學思想方法，才能深化知識的理解，應用知識，形成能力.數學知識的發(fā)生過程、規(guī)律的發(fā)現過程、結論的推導過程、方法的思考過程、問題的解決過程，實際上也是思想方法發(fā)生、思考、滲透的過程.課堂教學中，應抓住教學內容的特點，在教學過程中，適時滲透數學思想方法，結合數學探究過程，讓學生體會數學思想方法的教學才是有效的.

本節(jié)課，學生經歷了平方差公式的產生、形成和衍生的探索過程，發(fā)現了平方差公式與多項式乘法之間的聯系，在探索的過程中，運用了轉化的方法，得出了平方差公式運用的規(guī)律，形成了研究平方差公式問題的基本技能，領悟了轉化的數學思想方法，提高了學生分析問題和解決問題的能力.數學思想方法蘊含于數學知識中，蘊含于問題解決的過程中，因此教師不應生硬地教給學生有哪些思想方法，這題我們應當用什么思想方法解決，而是應教給學生運用思想方法的思路和途徑，讓學生經歷知識的學習和問題的解決過程，在過程里領悟數學思想方法，提高數學素養(yǎng).

這種探究式的教學設計，引導學生在新知識和舊知識聯系與遷移的過程中進行知識的探究，能夠讓學生在課堂上獲得的不僅僅是新知識，更重要的是，充分暴露了學生的整個思維過程，這也是我們教師在課堂教學中培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)的關鍵點.教師在教學中重視學生知識遷移能力的培養(yǎng)，加強數學思想方法形成的引導，有意識地訓練學生利用數學知識發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力，讓學生經歷知識生成探究的過程，才能夠有效提高學生的數學素養(yǎng).