一題多解拓展視角，棄“量”從“精”提升能力*
——以一道證明線段相等的幾何題為例

☉福建省廈門大學附屬實驗中學 林運來

☉福建省泉州市豐澤區教育局 周玉寶

一、問題提出

培養中小學生智力靈活性最簡單的辦法就是求多解的練習.以一題多解為例，從各種規律中找出規律，便能舉一反三，比盲目多做題的效果要好得多［1］.習題教學切不可就題論題，“一解而過”，而要引導學生從不同視角進行深度探究，充分挖掘習題背后隱性的價值和內涵，拓展學生數學思考的視角，提升學生的數學能力.因此，如何棄“量”從“精”，切實減輕學生過重的作業負擔，全面提升學生分析問題的能力，便成為了習題教學的主旋律和一種高境界的追求［2］.

習題教學就其目標而言，除了鞏固知識，主要還是培養學生的解題能力和完善學生的思維方式［2］.因此，習題教學中如何才能最大限度地提高課堂教學的有效性，讓學生掌握數學知識的本質，領悟數學思想方法的精髓，提升數學思維品質，提高數學素養，的確是一個值得探索與急需解決的問題.數學對人的作用是以促進人的邏輯思維為首要的，而這一重要作用又與數學證明有著密切聯系.筆者以一道“證明線段相等”的幾何題為例開展一題多解訓練，有一些心得體會，現寫出來與大家交流，希望能拋磚引玉.

二、原題呈現

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E、F分別是邊AC、AB的中點，延長BC到點D，使2CD=BC，連接DE并延長交AF于點M.求證：點M是AF的中點.

三、教學片段呈現

［片段1】

師：從題目中你讀出了哪幾個條件？

生1：Rt△ABC，AE=CE，AF=BF，2CD=BC.

師：題目需要我們解決什么問題？

生2：證明點M是AF的中點.

師：這個問題還能怎樣表示？

生3：證明AM=MF，或證明AF=2AM，或證明AF=2MF.

師：還有其他不同表示嗎？

師：你能直觀得出△AEF是什么三角形嗎？

生5：直角三角形.

師：根據要證明的結論，我們可以選擇組合方案“直角三角形AEF（已知可證）+M是AF的中點（結論）”，于是可以利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆定理進行證明.

思路1：利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆定理.

證法1：如圖1，因為E、F分別是邊AC、AB的中點，所以，即，所以，所以MD=3ME=ME+ED，則DE=2EM.

因為AE=EC，∠AEF=∠ECD=90°，EF=CD，所以△AEF △ECD，所以AF=DE=2EM.即M是AF的中點.

［片段2】

師：類比證法1的分析，你能提出解決問題的其他“已知+結論”的組合方案嗎？

生6：選擇組合方案“E是AC的中點（已知）+M是AF的中點（結論）”，可以利用三角形中位線定理的逆定理進行證明.

思路2：利用三角形中位線定理的逆定理.

證法2：如圖2，連接CF.

因為E、F分別是邊AC、AB的中點，所以EF∥BC，且2EF=BC.

又因為2CD=BC，且B、C、D三點共線，所以EF∥DC，EF=DC.

所以四邊形DCFE是平行四邊形，則EM∥CF.因為E為AC的中點，所以M是AF的中點.

［片段3】

師：有沒有考慮使用條件“2CD=BC”的？

生7：根據已知“點F是AB的中點”，結合要證明的結論，我發現2MF=BF，于是選擇組合“2CD=BC（已知）+2MF=BF（結論轉化）”，可以利用平行線分線段成比例定理進行證明.

生8：根據已知涉及線段中點較多，考慮延長CD到點G，使得CD=DG，可知“D為CG的中點，C為BG的中點”，剛好與“M為AF的中點，F為AB的中點”對應，于是可以利用平行線分線段成比例定理的逆定理進行證明.

思路3：利用平行線分線段成比例定理.

證明3：如圖2，連接CF.

因為E、F分別是邊AC、AB的中點，所以EF∥BC，且2EF=DC.

又因為2CD=BC，且B、C、D三點共線，所以EF∥DC，EF=DC.

所以四邊形DCFE是平行四邊形，所以DM∥CF.

所以M是AF的中點.

思路4：利用平行線分線段成比例定理的逆定理.

證明4：如圖3，延長CD到點G，使得DG=CD，連接AG、CF.

因為D、E分別是CG、CA的中點，所以DE∥AG，即DM∥AG.

因為C、F分別是BG、BA的中點，所以CF∥AG.

所以CF∥DM∥AG.

因為D為GC的中點，所以M是AF的中點.

［片段4】

師：以上幾種證明思路都非常棒！利用了直角三角形的性質、三角形的中位線、平行線的相關結論解決問題，解題思路穩中求勝.

師：問題涉及直角三角形，即有直線與直線垂直，還可以從什么角度進行探索？

（教師從另外一個角度提出問題，旨在引導學生再次進入新的探究活動中）

生9：還可以構造相似三角形，利用對應邊成比例進行證明.

生10：還可以“戴上笛卡爾眼鏡”，通過建立直角坐標系，利用代數方法“以算代證”.

（生10把教師平常教學中常說的話惟妙惟肖地演繹出來，全班同學不禁會心一笑）

思路5：利用相似三角形的性質.

證明5：如圖4，作MH⊥BC，垂足為H.

由已知得MH∥AC，所以△BMH △BAC，△DCE△DHM.

所以M是AF的中點.

思路6：利用中點坐標公式.

證明6：如圖5，以C為坐標原點，以CB為x軸，建立平面直角坐標系xOy. 設點A（0，2b）、B（2a，0），則點D（-a，0）、E（0，b）、F（a，b）.

四、寫在最后

1.解題教學要引導學生打通問題的條件與結論之間的“通道”

美國著名教育心理學家奧蘇伯爾曾經說過：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸納為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么，要探明這一點，并應據此進行教學.”［4］當面對一個新問題時，教師要引導學生明確思考方向，通過聯想問題的結論與已經學過的相關內容之間的聯系，并對這種聯系加以認真思考，打通問題的條件和結論之間的“通道”，由此找到解決問題的思路和方法.

當然，以上幾種解題思路并沒有窮盡問題的思考方法，重要的是，以上不同解法涉及了幾何中許多重要的定理，覆蓋了多個幾何知識點，多進行這樣的解題訓練，有助于減輕學生的學習負擔，使學生學會梳理幾何知識間的因果關系，了解需要理解哪些數學知識才能更好地解決任務，培養學生的邏輯思維能力，提高幾何思維水平，進而培養學生的探索精神和創新能力.

2.解題教學應促進學生深度思考

良好的數學教育是促進學生可持續發展的教育.在解題教學中，要從不同的認識層次、觀察角度、知識背景和問題特點出發進行一題多解、一題多變［1］.一題多解有助于培養學生深度思考的能力和發散性思維.這里的一題多解就是基本活動經驗，相同的方法就是數學的思想方法，數學思想方法是在基本活動經驗中累積和提升的［3］.面對一題多解，既要多解歸一、揭示實質，也要比較優逆勢、擇善而從.筆者讓學生課后整理題目的不同解法、并對解法進行評鑒，既有助于學生把握解題實質，又培養了學生的辯證思維和選擇能力.

解題教學要培養學生的深度思考能力，教師要克服將知識“大餐”端上來而不講烹飪方法的傾向，要站在知識體系的高度去思考，善于發現和揭示問題的本質規律，結合具體問題將學科知識融會貫通、刨根問底，結合學生實際，對問題的深入思考與拓展做到自然而然、深入淺出，以問題為載體引導學生不斷思考、不斷優化，不斷給學生以點點滴滴的思維啟迪，培養學生的知識遷移能力，以及善于研究、實證的精神，培養和提升學生解決問題的能力，使學生成為學習的主人.真正將教師“教案中的方法”變成學生“頭腦中的智慧”.