一題多解拓展視角，棄“量”從“精”提升能力*
——以一道證明線段相等的幾何題為例

☉福建省廈門大學附屬實驗中學 林運來

☉福建省泉州市豐澤區(qū)教育局 周玉寶

一、問題提出

培養(yǎng)中小學生智力靈活性最簡單的辦法就是求多解的練習.以一題多解為例，從各種規(guī)律中找出規(guī)律，便能舉一反三，比盲目多做題的效果要好得多［1］.習題教學切不可就題論題，“一解而過”，而要引導學生從不同視角進行深度探究，充分挖掘習題背后隱性的價值和內(nèi)涵，拓展學生數(shù)學思考的視角，提升學生的數(shù)學能力.因此，如何棄“量”從“精”，切實減輕學生過重的作業(yè)負擔，全面提升學生分析問題的能力，便成為了習題教學的主旋律和一種高境界的追求［2］.

習題教學就其目標而言，除了鞏固知識，主要還是培養(yǎng)學生的解題能力和完善學生的思維方式［2］.因此，習題教學中如何才能最大限度地提高課堂教學的有效性，讓學生掌握數(shù)學知識的本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學思想方法的精髓，提升數(shù)學思維品質(zhì)，提高數(shù)學素養(yǎng)，的確是一個值得探索與急需解決的問題.數(shù)學對人的作用是以促進人的邏輯思維為首要的，而這一重要作用又與數(shù)學證明有著密切聯(lián)系.筆者以一道“證明線段相等”的幾何題為例開展一題多解訓練，有一些心得體會，現(xiàn)寫出來與大家交流，希望能拋磚引玉.

二、原題呈現(xiàn)

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E、F分別是邊AC、AB的中點，延長BC到點D，使2CD=BC，連接DE并延長交AF于點M.求證：點M是AF的中點.

三、教學片段呈現(xiàn)

［片段1】

師：從題目中你讀出了哪幾個條件？

生1：Rt△ABC，AE=CE，AF=BF，2CD=BC.

師：題目需要我們解決什么問題？

生2：證明點M是AF的中點.

師：這個問題還能怎樣表示？

生3：證明AM=MF，或證明AF=2AM，或證明AF=2MF.

師：還有其他不同表示嗎？

師：你能直觀得出△AEF是什么三角形嗎？

生5：直角三角形.

師：根據(jù)要證明的結(jié)論，我們可以選擇組合方案“直角三角形AEF（已知可證）+M是AF的中點（結(jié)論）”，于是可以利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆定理進行證明.

思路1：利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆定理.

證法1：如圖1，因為E、F分別是邊AC、AB的中點，所以，即，所以，所以MD=3ME=ME+ED，則DE=2EM.

因為AE=EC，∠AEF=∠ECD=90°，EF=CD，所以△AEF △ECD，所以AF=DE=2EM.即M是AF的中點.

［片段2】

師：類比證法1的分析，你能提出解決問題的其他“已知+結(jié)論”的組合方案嗎？

生6：選擇組合方案“E是AC的中點（已知）+M是AF的中點（結(jié)論）”，可以利用三角形中位線定理的逆定理進行證明.

思路2：利用三角形中位線定理的逆定理.

證法2：如圖2，連接CF.

因為E、F分別是邊AC、AB的中點，所以EF∥BC，且2EF=BC.

又因為2CD=BC，且B、C、D三點共線，所以EF∥DC，EF=DC.

所以四邊形DCFE是平行四邊形，則EM∥CF.因為E為AC的中點，所以M是AF的中點.

［片段3】

師：有沒有考慮使用條件“2CD=BC”的？

生7：根據(jù)已知“點F是AB的中點”，結(jié)合要證明的結(jié)論，我發(fā)現(xiàn)2MF=BF，于是選擇組合“2CD=BC（已知）+2MF=BF（結(jié)論轉(zhuǎn)化）”，可以利用平行線分線段成比例定理進行證明.

生8：根據(jù)已知涉及線段中點較多，考慮延長CD到點G，使得CD=DG，可知“D為CG的中點，C為BG的中點”，剛好與“M為AF的中點，F(xiàn)為AB的中點”對應(yīng)，于是可以利用平行線分線段成比例定理的逆定理進行證明.

思路3：利用平行線分線段成比例定理.

證明3：如圖2，連接CF.

因為E、F分別是邊AC、AB的中點，所以EF∥BC，且2EF=DC.

又因為2CD=BC，且B、C、D三點共線，所以EF∥DC，EF=DC.

所以四邊形DCFE是平行四邊形，所以DM∥CF.

所以M是AF的中點.

思路4：利用平行線分線段成比例定理的逆定理.

證明4：如圖3，延長CD到點G，使得DG=CD，連接AG、CF.

因為D、E分別是CG、CA的中點，所以DE∥AG，即DM∥AG.

因為C、F分別是BG、BA的中點，所以CF∥AG.

所以CF∥DM∥AG.

因為D為GC的中點，所以M是AF的中點.

［片段4】

師：以上幾種證明思路都非常棒！利用了直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線、平行線的相關(guān)結(jié)論解決問題，解題思路穩(wěn)中求勝.

師：問題涉及直角三角形，即有直線與直線垂直，還可以從什么角度進行探索？

（教師從另外一個角度提出問題，旨在引導學生再次進入新的探究活動中）

生9：還可以構(gòu)造相似三角形，利用對應(yīng)邊成比例進行證明.

生10：還可以“戴上笛卡爾眼鏡”，通過建立直角坐標系，利用代數(shù)方法“以算代證”.

（生10把教師平常教學中常說的話惟妙惟肖地演繹出來，全班同學不禁會心一笑）

思路5：利用相似三角形的性質(zhì).

證明5：如圖4，作MH⊥BC，垂足為H.

由已知得MH∥AC，所以△BMH △BAC，△DCE△DHM.

所以M是AF的中點.

思路6：利用中點坐標公式.

證明6：如圖5，以C為坐標原點，以CB為x軸，建立平面直角坐標系xOy. 設(shè)點A（0，2b）、B（2a，0），則點D（-a，0）、E（0，b）、F（a，b）.

四、寫在最后

1.解題教學要引導學生打通問題的條件與結(jié)論之間的“通道”

美國著名教育心理學家奧蘇伯爾曾經(jīng)說過：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸納為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學.”［4］當面對一個新問題時，教師要引導學生明確思考方向，通過聯(lián)想問題的結(jié)論與已經(jīng)學過的相關(guān)內(nèi)容之間的聯(lián)系，并對這種聯(lián)系加以認真思考，打通問題的條件和結(jié)論之間的“通道”，由此找到解決問題的思路和方法.

當然，以上幾種解題思路并沒有窮盡問題的思考方法，重要的是，以上不同解法涉及了幾何中許多重要的定理，覆蓋了多個幾何知識點，多進行這樣的解題訓練，有助于減輕學生的學習負擔，使學生學會梳理幾何知識間的因果關(guān)系，了解需要理解哪些數(shù)學知識才能更好地解決任務(wù)，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提高幾何思維水平，進而培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力.

2.解題教學應(yīng)促進學生深度思考

良好的數(shù)學教育是促進學生可持續(xù)發(fā)展的教育.在解題教學中，要從不同的認識層次、觀察角度、知識背景和問題特點出發(fā)進行一題多解、一題多變［1］.一題多解有助于培養(yǎng)學生深度思考的能力和發(fā)散性思維.這里的一題多解就是基本活動經(jīng)驗，相同的方法就是數(shù)學的思想方法，數(shù)學思想方法是在基本活動經(jīng)驗中累積和提升的［3］.面對一題多解，既要多解歸一、揭示實質(zhì)，也要比較優(yōu)逆勢、擇善而從.筆者讓學生課后整理題目的不同解法、并對解法進行評鑒，既有助于學生把握解題實質(zhì)，又培養(yǎng)了學生的辯證思維和選擇能力.

解題教學要培養(yǎng)學生的深度思考能力，教師要克服將知識“大餐”端上來而不講烹飪方法的傾向，要站在知識體系的高度去思考，善于發(fā)現(xiàn)和揭示問題的本質(zhì)規(guī)律，結(jié)合具體問題將學科知識融會貫通、刨根問底，結(jié)合學生實際，對問題的深入思考與拓展做到自然而然、深入淺出，以問題為載體引導學生不斷思考、不斷優(yōu)化，不斷給學生以點點滴滴的思維啟迪，培養(yǎng)學生的知識遷移能力，以及善于研究、實證的精神，培養(yǎng)和提升學生解決問題的能力，使學生成為學習的主人.真正將教師“教案中的方法”變成學生“頭腦中的智慧”.