關(guān)注非常規(guī)解法，發(fā)展學生高階思維

☉江蘇省灌南縣第四中學 朱延波

發(fā)展學生高階思維、培養(yǎng)學生能力是當前數(shù)學教學改革與發(fā)展的總體目標，教師應著眼于學生思維品質(zhì)的優(yōu)化并激發(fā)、培養(yǎng)學生多種優(yōu)良品質(zhì)以幫助學生順利達成此目標.筆者認為，與學生共同探索數(shù)學問題的非常規(guī)解法對于培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)來說是極有價值的.

一、在問題的非常規(guī)解法中鍛煉學生思維的創(chuàng)造性

激發(fā)學生興趣、調(diào)動學生的積極性并鼓勵學生在數(shù)學思考中鍛煉思維的創(chuàng)造性是初中數(shù)學教學的一個重要目標，因此，教師應有意識地引導學生對數(shù)學問題的非常規(guī)解法進行探討并令枯燥的知識變得更具“活力”，使學生能夠敢于突破常規(guī)并運用新方法進行思考和解題，最終在突破思維定式的獨立思考中獲得創(chuàng)造思維能力的提高.

例1 解方程：x3+（）x2-2=0.

解析：這是一個采用常規(guī)解法不易求解的題目，因此，教師可以引導學生突破常規(guī)并與學生共同分析，將方程化為（）2-x2-（x2+x3）=0，原方程也就轉(zhuǎn)化成了以為未知數(shù)的一元二次方程，運用因式分解將其變形為（+x）（x-x2）=0，解得，

例2 若有關(guān)于x的一元二次方程（b-c）x2+（c-a）x+a-b=0（b≠c），且方程有相等的實數(shù)根，求證：2b=a+c.

分析：由一元二次方程根的判別式Δ=0出發(fā)進行解題是本題的常規(guī)證明方法，變形、因式分解后可得（2ba-c）2=0，不過這一過渡的步驟對于學生來說有一定難度，教師可以引導學生觀察方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系，從三者之和等于0來獲得關(guān)于x的一元二次方程有相等實根的結(jié)論，獲得相等實根x1=x2=1以及本題的非常規(guī)證明方法.

證明：已知關(guān)于x的一元二次方程（b-c）x2+（c-a）x+a-b=0（b≠c）的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項之和等于0，且有相等實數(shù)根x1=x2=1.

則a-b=b-c，即2b=a+c.

由此可見，當問題難以解決或不能解決時，應及時改變思維方向并尋求解題突破，學生的思維往往能夠在突破過程中獲得質(zhì)的飛躍.

二、在問題的非常規(guī)解法中鍛煉學生思維的靈活性

教師可以引導學生將一些非本質(zhì)的、次要的因素舍棄并緊緊抓住問題的本質(zhì)進行解題的思考，使學生思維的靈活性能夠獲得鍛煉.

分析：將分式方程化成整式方程求解是本題的常規(guī)解法，不過，運用這一解法會出現(xiàn)一元高次方程且過程復雜.因此，教師可以引導學生將x2+x看成一個整體并利用換元法進行解題.

解：設x2+x=y，則原方程變?yōu)?y+1，解得y1=-3，y2=2.

當y1=-3時，方程無實根；當y2=2時，解得x1=-2，x2=1.

經(jīng)檢驗，x1=-2，x2=1都為原方程的根.

三、在問題的非常規(guī)解法中鍛煉學生思維的批判性

引導學生獨立思考、提出疑問并進行正誤的辨別，往往能令學生在批判思維中獲得最佳方法與答案.因此，教師應引導學生不迷信、不盲從現(xiàn)有解法并不斷提出自己的新想法、新假設與新論斷，使學生在有意識的引導與有計劃的訓練中獲得思維批判性的發(fā)展.

例4 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），試推導其求根公式.

很多學生在這樣的推導過程中獲得的感知往往只是公式的機械記憶，不僅如此，很多學生還會在推導中形成2a的誤解，對于如此推導的緣由更是不得其解.教師如果能夠啟發(fā)學生進行以下思考，那么上述弊病就能得到有效避免.

解：原方程兩邊同乘4a，可得4a2x2+4abx+4ac=0，配方可得（2ax+b）2=b2-4ac ①.

評注：判別式Δ=b2-4ac的實質(zhì)在①中得到了揭示，它是一個完全平方式（2ax+b）2；②式則將方程的三個基本問題進行了解決：是否有實數(shù)根？（由Δ=b2-4ac的符號決定）實數(shù)根有幾個？（兩個）如何求根？（公式本身）

四、在問題的非常規(guī)解法中鍛煉學生思維的廣闊性

引導學生跳出一定的常規(guī)操作并進行縱橫聯(lián)系的多角度的問題思考，往往能令學生的思維呈輻射狀展開并展開廣泛的聯(lián)想，使陳題獲得新的解法并令學生在陳題中獲得視野的開闊與思維能力的拓展.

例5 已知方程x2+px+q=0，求根是原方程各根2倍的一元二次方程.

分析：先求出已知方程的兩個根并借助已知條件和根與系數(shù)的關(guān)系求出新方程是本題的常規(guī)解法，不過解題過程是比較煩瑣的.教師在具體的解題教學中，如果能引導學生著眼于已知條件并借助根的定義進行解題，則其過程會更迅速和巧妙.

解：設已知方程的根和所求方程的根分別為x和y.由已知得y=2x，即，代入已知方程可得0，即y2+2py+4q=0，即為所求方程.

除此之外，教師還可以在解題后引導學生對所求方程與已知方程的系數(shù)進行對比并總結(jié)該類問題的求解規(guī)律與方法，使學生能夠在思考、總結(jié)中逐步提升解題與歸納能力.

例6 已知x2+2x-1=0，求2x4+x3-3x2+13x+2015的值.

分析：由x2+2x-1=0求出x的值并代入所求算式進行求值是此題的常規(guī)解法，但過程對于學生來講是十分復雜的.教師在此題的解題教學中，可以首先將數(shù)學整體思想傳授給學生，將x2+2x視作整體，再將2x4+x3-3x2+13x+2015適當變形，將x2+2x-1=0代入求解，這一非常規(guī)解法令此題的求解簡便很多.

解：x2+2x-1=0，則x2+2x=1.

2x4+x3-3x2+13x+2015=2x2（x2+2x）-3x（x2+2x）+3（x2+2x）+7x+2015

=2x2-3x+3+7x+2015

=2（x2+2x）+2018

=2020.

教師啟發(fā)學生對非常規(guī)解法進行探索的過程中，一定要重視學生感悟的作用，并令學生的猜想能力、發(fā)散思維獲得鍛煉與發(fā)展.

例7 已知300只雞和兔共有1000只腳，則雞和兔的數(shù)量各有多少？

分析：教師在此題的教學中，若能引導學生進行以下猜想，問題的解決對于學生來說也就不難了：假設每只兔子和每只雞分別同時抬起兩條腿和一條腿，此時雞和兔的支撐腳共有500只，則兔子有500-300=200（只），因此此時如果每只動物再抬起一條腿，還能支撐站在地上的腳必然是兔子的，因此兔子的數(shù)量必然是以上兩數(shù)相減的差.

例8 若兩個連續(xù)奇數(shù)之積為323，這兩個數(shù)分別是多少？

解法1：設兩數(shù)中較小的奇數(shù)是x，則另一奇數(shù)為x+2.由題意可得x（x+2）=323，解得x1=17、x2=-19.因此這兩個奇數(shù)應為17、19或-17、-19.

12數(shù)應為17、19或-17、-19.

解法3：設x為任意整數(shù)，由題意可得這兩個連續(xù)奇數(shù)應為2x-1、2x+1.由題意可得（2x+1）（2x-1）=323，解得x1=9，x2=-9.因此這兩個奇數(shù)應為17、19或-17、-19.

解法4：設這兩個連續(xù)奇數(shù)為x-1、x+1.由題意可得（x+1）（x-1）=323，解得x1=18，x2=-18.因此這兩個奇數(shù)應為17、19或-17、-19.

因此，教師在實際教學中，應有目的、有針對性地引導學生進行非常規(guī)解法的探索，使學生能夠在一定的訓練中對數(shù)學問題的解答形成新的思想，在靈活運用各種數(shù)學思想方法的過程中不斷提升分析問題、解決問題的能力，在有計劃的非常規(guī)解法的思想熏陶之下獲得思維品質(zhì)的不斷提升.不過，值得教師注意的是，數(shù)學問題非常規(guī)解法的探索訓練及學生思維品質(zhì)的提升并不是一朝一夕就能達成的，教師在這樣一個復雜而又系統(tǒng)的領域中應堅持不斷實踐、探索和總結(jié)，使學生能夠在有意義的引導與訓練中取得良好的學習效果.