閱讀中突破，反思中創新
——以“分式方程的應用”的教學為例談數學應用題的教學

☉廣東省深圳市龍華區教育科學研究院 林日福

學生日常學習應用題時，常由于數學閱讀能力較弱影響他們對問題的準確理解，對生活理解的欠缺影響他們將生活問題轉化為數學問題的數學化進程，代數式運用能力不足影響他們順利建模，等等，都讓他們對應用題的學習產生畏難情緒.本文以北師大版教材八年級下冊數學“分式方程”一節中“分式方程的應用”一課的教學為例，探討應用題的教學.

一、教學簡錄

環節1：溫故知新，了解模型

題1：小同每小時打2400字，打x小時可以打______個字.

題2：小同打一篇4800字的文章需要x小時，那么他每小時可以打______個字.

題3：小同每小時打x字，打一篇4800字的文章需要______小時.

題4：小同打一篇文章需要2小時，那么他每小時完成這篇文章的______.

簡評：給出一組現實生活問題，教師通過追問幫助學生理解工作總量、工作時間及工作效率等概念的含義，并在解決問題過程中理解三者之間的數量關系，為后面的順利建模搭好支架.

環節2：探索新知，建立模型

例題：某市政工程隊準備修建一條污水處理管道，為了能趕在汛期前完成，采用了新技術，實際每天比原計劃多修10m，結果原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等.求原計劃每天修建管道多少米.

師：這是一個什么樣的問題？

生1：應用題.

師：如何解決這樣的問題？

生2：先審題，找出題中的已知、未知、需要求什么，以及等量關系，再列方程并解答.

師：此題已知什么？求什么？等量關系是什么？你是怎樣理解的？

生3：已知“實際每天比原計劃多修10m，原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等”，求原計劃每天修建管道多少米.等量關系有：（1）實際每天修建管道的長度=原計劃每天修建管道的長度+10m；（2）原計劃修建400m管道所用的時間=實際修建500m管道所用的時間.

生4：“實際每天比原計劃多修10m”指的是工作效率之間的關系，“原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等”指的是工作時間之間的關系.

師：題中哪些語言反映了這兩個等量關系呢？

生5：“實際每天比原計劃多修10m”反映了第一個等量關系，“原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等”反映了第二個等量關系.

師：接著該怎么解決此題？

生6：設原計劃每天修建管道x m，這樣實際每天修建管道（x+10）m，再分別表示出原計劃修建400m管道的時間及實際修建500m管道的時間.分別為由等量關系（2）得方程

生6：用原計劃的工作總量（400m）除以原計劃的工作效率（x m）就是原計劃修建400m管道所用的時間，用實際的工作總量（500m）除以實際的工作效率（（x+10）m）就是實際修建500m管道所用的時間

圖1

師：你對他的解答過程有什么看法？

生8：列出來的是分式方程，解分式方程要檢驗，他沒有檢驗.

師：是的，此題還欠缺檢驗這一步驟.由剛才的分析知此題有兩個等量關系，他根據等量關系（2）列出方程，那么根據等量關系（1）也可以列出方程嗎？

生9：設原計劃修建400m管道需x天，那么原計劃的工作效率是天，實際的工作效率是/天，由等量關系（1）得方程

師：對前面幾種解法，你們有些什么想和大家一起分享的？

生10：求解應用題時首先得審題，找出題中的等量關系，然后根據等量關系列出方程.如果有多個等量關系，可選擇其中一個等量關系列出方程.解出方程后還需要檢驗.

師：非常好，理清題中各量及量與量之間的關系，找出等量關系是解題的關鍵.因此，審題非常重要，解題前要細心閱讀問題，準確把握題意.當題中的量比較多時，我們還可以借用表格幫助梳理.

設原計劃每天修建管道x m.

1.3 HER-2、EGR-1的免疫組織化學染色結果判定 HER-2的陽性結果主要定位于細胞膜或者細胞漿內，其陽性反應表現棕黃色。根據細胞核或者細胞漿染色的深淺以及染色的范圍來進行判定，結果判定如下：⑴按照陽性細胞百分數：陰性則0分，陽性細胞≤5%計1分，6%-50%記2分，50%-75%計3分，＞75%則4分。⑵按照切片染色強弱來評分：棕褐色表現3分，棕黃色表現2分，淡黃色表現計1分，無色記錄0分。免疫組化陽性分4個等級 （計算方法：⑴⑵）：0-2分表現為-（陰），3-4分為+，5-8分為++，9-12分為+++。

請大家填寫表1.

表1

師：你有些什么發現嗎？

生11：如表2：

生12：如表3：

表2

表3

師：請和大家說說你的想法及思維過程.

生12：我先填出表格的第一行和第二行左邊的第一個空格，由等量關系（2）得實際工作時間也是天，填出表格右下角的空格，由工作效率得實際工作效率為m/天），便可填出剩下的空格，再由等量關系（1）可列方程

師：太妙了，你們知道妙在什么地方嗎？

生13：列出的方程是整式方程而不是分式方程，解這個方程比較容易，且不用對方程的解進行檢驗.

簡評：解答問題得先知道這是一個什么樣的問題，分析之后試著“干干看”，接著看“干得怎么樣”，最后反思“有什么收獲”，這是一個完整的解決問題的過程.教師引導學生反思思維過程，感悟解題收獲，既可幫助那些仍不太理解的學生理解，又能激發新思考，引發新發現.在這個過程中，他們收獲了新知識，學會了數學思考，感悟了問題中所蘊含的模型思想、轉化思想等數學思想方法.

環節3：學以致用，掌握模型

題1：某市政工程隊準備修建一條長1200m的污水處理管道，為了能趕在汛期前完成，實際工作效率比原來提升了25%，結果比原計劃提前6天完成任務.求原計劃每天修建管道多少米.

題2：某市政工程隊準備修建一條長1200m的污水處理管道，在修建完400m后，為了能趕在汛期前完成，采用了新技術，工效比原來提升了25%，結果共用26天完成任務.求原計劃多少天完成此項任務.

題3：某市政工程隊準備修建一條污水處理管道，為了能趕在汛期前完成，實際工作效率比原來提升了25%，結果比原計劃提前6天完成任務.求原計劃需多少天才能完成此項任務.

簡評：題1變化了例1的工作效率的表述方式及工作時間的關系；題2在題1的基礎上變化了工作時間的關系及完成整項工作的方式；題3沒有給出工作總量，需要學生用抽象的數字“1”來表示；題4為自編題，不同學生可能編寫出不同背景的問題.4道題形成層層遞進的問題組，突出建立模型這個教學重點，讓不同的學生得到不同的發展.

二、教學思考

1.在數學閱讀中學會數學思考

解決問題首先要審題，通過審題來獲取問題中的數學信息，理解每個信息的數學含義，這是解答應用題的第一步，也是成功解題的基礎.展示出問題后，教師營造安靜的課堂環境，與學生一起專注于默讀問題.讀題的過程中，指導學生勾畫出問題中的一些關鍵詞、句，必要時還讓學生重讀，邊讀邊進行一些自問自答式的思維活動.如：這是一個什么樣的問題呢？都有些什么已知量與未知量呢？題中的這個量表示的是什么呢？這些量之間滿足什么樣的數量關系呢？問題中還給出了什么樣的數量關系呢？這個問題和以往做過的什么問題有聯系呢？等等，都能有效地培養學生數學閱讀的習慣與能力，促進他們在閱讀中進行數學思考.

隨著學生認知水平、閱讀能力的發展，審題活動就應逐漸由學生自主獨立完成.這樣，學生在閱讀的過程中才會真正挖掘問題中的數學信息，思考問題的數學含義，切身體會問題所蘊含的數學思想，學會數學思考、數學分析、數學探索.但據筆者日常課堂觀察發現，不少教師在教學應用題時，把應由學生審題的事給包辦了.這種僅展示閱讀及思維結果的教學，只能讓學生感到問題的神秘、老師的神奇，卻無助于學生獨立解決問題能力的培養.

2.在解決問題中學會數學表達

學生能否正確運用數學語言表達現實世界，建立數學模型，關鍵在于學生是否真正從數學上理解了這些從生活中抽象出來的概念，以及這些概念之間的數學關系.

（1）讓數學回歸生活.

數學來源于生活，同時是對現實世界的高度抽象，將抽象的數學與現實生活建立聯系，是學生理解數學應用題中各個量的含義，以及量與量之間的數學關系的重要方法.而生活經驗的欠缺，給他們的數學理解增加了不少困難.因此，教學中常需要讓數學回歸生活，通過創設一些與之相關的現實生活情景，讓學生結合自身的生活經驗，舉出例子來解釋概念的含義，可使抽象的數學概念生活化、直觀化、具體化，有助于學生正確建立模型.

（2）為理解提供支架.

教學實踐表明，對于已學習過的概念，通過運用概念解決具體問題也有助于他們對概念的回憶與認知加工，幫助學生加深對概念的理解.例如本課的“工作總量”“工作效率”等概念，學生在小學已學習過，但對它們的數學含義，不少學生仍是模糊的.如對“環節1”中的題3，剛開始時有部分學生錯誤認為表示的是工作效率.本環節教學結束后，我們通過課堂觀察發現，學生已對“工作總量、工作效率、工作時間”等概念有了更清晰的認識，有效地減輕了他們后續學習的認知負擔.

（3）在追問中促進理解.

研究發現，教師通過追問等提問方式，能幫助學生更好地理解概念，把握概念包含的數學關系，并運用數學符號表達出來，進而正確建立數學模型.這對于學習困難的學生來說，教學效果更為明顯.如本課里，教師在學生審題、思考后提出：這是一個什么樣的問題？此題已知什么？要求什么？等量關系是什么？你是怎樣理解的……分別是怎么得到的……在追問中，學生逐漸認清問題的類型、解決問題的目標、每一個概念的含義，以及題中的數量關系，等等，降低了學生建立方程、解答問題的難度.更為重要的是，教師的追問，還展示出了較為完整的探索及思維過程，有助于培養與發展學生的數學思維能力與問題解決能力.

（4）在運用中學會表達.

學生的數學表達是學生的而不是老師的，因而學生的數學表達必須在學生運用知識解決問題中培養.“數學活動經驗的獲得，需要學生參與做數學的活動.［1］”在學生已能較好地理解問題中的數學概念、數量關系后，運用數學符號表達出這些概念及數學關系，建立數學模型，這是一個抽象概括及符號化的過程，需要學生的親身參與，努力嘗試，切身感受.當然，強調由學生獨立嘗試進行數學表達，并不是要否認教師的教學示范與教學指導作用.相反，在培養數學表達能力上，教師應該也必須適時、適度發揮應有的示范作用，當學生表達出現困難時要適時、適度提供支持，以幫助學生逐漸學會數學表達.

3.在歸納感悟中學會數學評價

日常教學中，不少教師在給出問題解決過程后便馬上進入練習鞏固環節，卻忽視引導學生對解題的思維過程進行反思、感悟與評價，這大大降低了問題解決的教學價值.

（1）在評價中培養嚴謹思維的意識.

當學生運用新學習的數學知識解決問題時，數學表達常存在嚴謹性不足的問題.如剛學習幾何推理時，大部分學生都犯思路不清、邏輯關系不明、表達不嚴謹等錯誤.教學時，一方面需要教師教學示范，另一方面，更需要讓學生把問題充分暴露出來，再組織思考與評價，逐漸完善.本課里，生7展示的解答過程欠缺了“檢驗”這一步，評價時生8指了出來.我認為，這更能彰顯出培養學生養成“檢驗”的意識，以及培養他們的數學學習自我監控能力的教學價值.

（2）在評價中培養創新意識.

“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中.［2］”學生解決問題后，他們已對問題有了較全面、深入的思考，此時教師再創設合適的問題情境，組織學生對解題的思維過程進行反思、感悟、評價，常能激發出他們的創新思考，獲得新想法.本課里，在評價生7的解答過程后，教師提問：“根據等量關系（1）可以列出方程嗎？”之后，教師引入表格，讓學生運用表格梳理題中的已知量、未知量，以及各量之間的數量關系.此時學生自然而然地生疑：此題都已解答完了，老師怎么還提出這樣的問題呢？老師給出的表格又有什么用呢？激發了他們再次深入思考的興趣，進而產生了新發現，獲得了新解法.經過這樣的過程，他們對列方程模型解應用題的本質，即用代數式從不同的角度表示出同一個量，這種“算兩次”的方法，有了更深刻的認識，有利于培養與發展他們的創新意識與能力.

4.在鞏固應用中掌握模型

數學應用題教學，其根本目標是培養學生學會用數學的語言表達現實世界，感悟模型思想，發展數學思維.這樣，讓學生將模型應用于新的問題情境，實現對所學習模型的進一步抽象、概括性理解，這是應用題教學的必備環節.

（1）在變式練習中實現對模型的概括性理解.

“變式”是教師為實現學生能掌握模型、運用模型所采用的常見的教學策略.本課里，教師通過改變例題中的工作效率、工作時間或工作總量等已知條件，由易到難，由具體到抽象，達成了讓學生熟練運用分式方程的數學模型解決工程問題這個教學目標.

但數學教學要“讓不同的人在數學上得到不同的發展［2］”.本課的變式，仍局限于問題情境的內部，對問題情境中具體的量或數量關系做一些變化，沒能深入到該模型的本質，這對于哪些學有余力的學生來說是不夠的.工程問題的數學模型是“A（工作總量）=B（工作效率）×C（工作時間）”，這也是很多其他生活實際問題的數學模型.如行程問題（路程=速度×時間）、商品銷售問題（總利潤=單件利潤×銷售量）、銀行利息問題（總利息=利率×期數），等等.這為我們對問題進行變式提供了更多的選擇、更廣闊的空間.教學中，如果能呈現一些數學模型相同而應用背景不同的問題，必將有助于學生把握該模型的本質，實現對模型的概括性理解.

（2）在自主編題中提升學生的概括水平.

組織學生根據所給的數學模型自主編題，可以提高學生對模型的概括水平.我們知道，要基于原模型進行自主編題，需要對模型有較為豐富的、全面的把握與認識，對原題的解法有較深的理解，同時對社會生活也有比較豐富的認識，等等.例如本課的練習題4，學生要能編題，他們首先要對數學模型“A=B×C”有較深刻的認識，至少，他們也應能較好地把握模型“工作總量=工作效率×工作時間”中各量的具體含義及它們之間的關系.

當然，或許學生的編題僅僅是對剛學習的例題做一些淺層次的變化.但在分享經驗、教師的指導與鼓勵下，他們所編寫出的問題必將會越來越豐富，越來越有創意，越來越能反映出模型的本質.而這正是學生概括性理解模型的具體表現，也是應用題教學所追求的教學價值之所在.