中、新初中數學教科書中“二次表達式的拓展”的比較研究

☉浙江師范大學教師教育學院 樓中楠

☉浙江師范大學教師教育學院 朱 哲

一、研究背景

數學，作為伴隨學生整個學習生涯的一門學科，不僅向學生灌輸了一些諸如概念、公式等顯性知識，還為學生塑造了一種理性、系統的思維方式，這在學生的人生中發揮了重要的作用.近二十年來，新加坡不斷加大在教育領域的投入，秉持“少教多學”的教育理念，科學地進行教育分流，建立了完善的教師培訓系統，使得該國的教育一鳴驚人，受到了世界各國關注.因此，筆者選取中國與新加坡初中數學教科書中的“二次表達式的拓展”內容進行對比與分析，希望能對我國的新課程改革與教科書的編寫有所啟示.

二、研究設計

1.研究問題

代數知識是在算術知識基礎上發展起來的，其特點是用字母表示數，使數的概念及其運算法則抽象化和公式化［1］.而二次整式的拓展是初中階段代數知識學習的重中之重，它包含了代數的加法、減法與乘法，熟練掌握此塊內容有利于學生的直觀形象思維向抽象思維過渡.本研究研究的主要問題為：一是兩個版本的教科書在“二次表達式的拓展”內容的設置、呈現、應用方面有何異同，二是這些異同對我國數學教科書的編寫有何啟示.

2.教科書版本的選取

對于中國初中數學教科書，我們選取了浙江教育出版社出版的義務教育教科書《數學》七年級上冊第四章“代數式”［2］以及七年級下冊第三章“整式的乘法”［3］.對于新加坡初中數學教科書，我們選取了由Dr Yoseph Yeo等主編的New syllabus Mathematics（7th edition）［4］，其中“二次表達式的拓展”為第二冊第三章“二次表達式的拓展與因式分解”的內容.

3.研究方法

筆者主要采用了文本分析的方法，分別對比與剖析了兩個版本教科書中“二次表達式的拓展”的內容，并對其具有的特征進行歸納分析，最后得出研究結論，期盼這些結論在一定程度上能對我國編寫教科書有一定的啟示.

4.比較維度

筆者從3個維度進行比較.（1）內容的設置與分布：對兩個版本教科書“二次表達式的拓展”的知識體系與知識點進行對比.（2）內容的呈現方式：對兩個版本教科書的章首問題、知識引入與知識鞏固進行對比.（3）內容的應用：對兩個版本教科書中的例題與習題從題量、題型與難度三個方面進行比較.

三、研究結果

《數學》與New syllabus Mathematics在三個維度上都有各自的特點，具體如下.

1.內容的設置與分布

（1）知識體系比較

兩種教科書中，“二次表達式的拓展”內容的設置情況見表1，其中《數學》安排在了七年級上冊第四章以及七年級下冊第三章；而New syllabus Mathematics則安排在了第二冊第三章.

表1 《數學》與New syllabus Mathematics中的知識體系

從表1中，我們發現《數學》與New syllabus Mathematics在“二次表達式的拓展”內容的設置上是一樣的，都先介紹二次表達式的概念，再介紹與二次表達式加法、減法和乘法相關的計算，最后介紹二次表達式的化簡.不同之處是，《數學》將二次表達式歸到整式一類中統一進行介紹，并將與之相關的加、減法及乘法運算分為單項式與多項式兩部分進行舉例說明；而New syllabus Mathematics則將二次表達式單獨介紹，然后把單項式與多項式的運算統一進行講解.

（2）知識點的比較

通過對上述兩個版本的教科書具體內容的考察，我們發現二者在知識點的數量上存在著明顯的差異.據統計，《數學》在二次表達式這塊內容上共設置了14個知識點，New syllabus Mathematics共設置了6個知識點（見表2）.

表2 《數學》與New syllabus Mathematics中的知識點

由表2，我們可以發現《數學》中新增定義4個，而New syllabus Mathematics只有1個，這說明了《數學》對基本概念的定義更為重視.《數學》在此章中先介紹易懂的單項式與多項式，進而引出整式，隨后講解整式的運算.筆者認為這樣的編寫思路，不僅使得學生更好地理解代數式的定義，起到一定的鞏固效果，還能讓學生體會到中學數學的學習過程：先從特殊的例子出發認識一個新的定義，即新知識，而后通過題目進行鞏固、加深理解，進而將新知識與運算、應用相結合.

另一方面，《數學》中共出現7個公式，而New syllabus Mathematics中僅出現2個公式.具體分析這些公式，我們能夠發現《數學》中涉及項的次數可能是3、4，甚至更高，而New syllabus Mathematics中項最高的次也只是2，這也說明了《數學》對代數及其運算的要求更高.

2.內容的呈現方式

數學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性及廣泛的應用性，這就注定了數學知識的呈現方式關系到學生是否能夠更好地理解知識［6］.下面就章首問題、知識的引入與知識的鞏固進行具體的分析、比較.

（1）章首問題

《數學》七年級上冊第四章的章首：①利用已知條件寫出含t的代數式來表示山頂的溫度；②本章學習目標：代數式、整式和整式的加減運算.《數學》七年級下冊第三章的章首：①利用已知條件計算天宮一號的飛行速度；②用代數式表示從一張長方形紙片中裁取的正方形紙片的面積；③本章學習目標，整數指數冪的基本性質，整式的乘法和除法.

New syllabus Mathematics的章首：一個老師問他的學生：“如果一個長方形的面積為（x2+8x+12）cm2，并且它的長為（x+6）cm，那么長方形的寬是多少？”一個學生回答道：“長方形的寬是（x+2）cm.”在你們學習了如何分解二次代數式后，你們就能夠弄清這位同學是怎么得到他的答案的.學習目標，在本章的結尾處，你應該能夠：①識別二次表達式；②能拓展與簡化二次表達式；③運用乘法公式對二次表達式進行因式分解.

由上述對比我們發現，《數學》注重從生活實例著手，逐步過渡到與本章節有關聯的問題，而此問題往往是學生未能解決的；New syllabus Mathematics則以數學問題引入，且不經任何引導或分析，直接給出問題的答案，這就未給予學生一個思考的機會.從這個角度看，《數學》的章首設置更為合理，因為這樣更加吸人眼球，達到激起學生學習熱情的目的，且能夠讓學生帶著問題進行接下來的學習，留給了學生獨自探索、解決問題的機會.

章首問題之后，兩種教科書都給出了本章的學習目標，《數學》只點明了本章的知識點，而New syllabus Mathematics則不僅點明了知識點，還在知識點前使用了一些行為動詞，這更符合我國三維目標中對知識與技能這一目標領域的書寫要求，比如：使用了知道、了解、模仿水平的行為動詞“識別”；使用了理解、獨立操作水平的行為動詞“能、運用”.由此可見，New syllabus Mathematics具有的目的性更明確，有利于學生準確把握本章內容學習的要求，進而提高自身的學習效率.

（2）知識的引入

《數學》在引入整式與整式加法時是通過情境問題導入的：把“鳥巢”作為背景知識，通過買x張全價票（50元）與y張半價票（25元）來表示所需付的總金額.在引入單項式乘法與多項式乘法時也是通過情境問題導入：（1）利用天安門為背景知識，通過步數1100與步長a（m）來表示廣場的面積；（2）用不同的方法計算出家家戶戶都有的廚房的面積.

New syllabus Mathematics在引入二次表達式時是通過復習導入的：教師帶領學生回顧了代數式的定義以及代數式的組成成分，并解釋這里涉及的代數式都是線性表達式，即一次表達式，接來下就將帶著同學們學習二次表達式.在引入二次表達式的乘法時也是通過復習導入的：教師帶領學生回顧之前學習的常數項與一次表達式的乘法“2（3x）”，而后引出今天的學習內容，即一次表達式與一次表達式的乘法，比如2x×3x.

由此可見，《數學》將情境引入作為主要的課堂引入方式，它所具有的優勢十分明顯：首先趣味十足，開拓了學生視野，在一定程度上激發了學生的學習興趣；其次每個情境中都暗含著本節課所要學習的知識點，這就將學生帶入到與新知識相關的情境中，激發出學生了解未知的意愿，從而使得學生在上課之初就能將自身的學習情緒調整到最佳狀態.

而New syllabus Mathematics將復習引入作為主要的課堂引入方式，它同樣具有一些優勢：首先，由于我們的教材往往都是按照由淺入深、由易到難的規律來編排的，并且新知識的學習一般以舊有知識為基礎，故復習引入能夠在回顧舊有知識的基礎上，為接下來新知識的學習埋下伏筆，提供思路；其次，復習引入所占用的課堂時間往往比情境引入要少，故它還能夠提高課堂效率.

相比較而言，雖然上述兩種課堂引入方式都具有一定的優勢，但復習引入可能存在的弊端會更大：學生對于它所帶來的舊知識的回顧往往是一個被動接受的過程，且它所具有的趣味性不強，不貼近生活實際，對學生來說比較枯燥，不符合我國“讓學生真正成為課堂學習的主人”的教育理念［6］.在當今世界趨勢下，情境引入必定會成為教科書的主流引入方式.

（3）知識的鞏固

在介紹代數的加、減與乘法的運算上，兩種教科書都通過具體例子的演算來讓學生熟悉不同運算法則的使用.不同的是，《數學》偏向于使用面積相等法解決實際生活例子來印證運算法則，如：一個廚房的平面布局如圖1，我們可以用下面幾種方法表示廚房的面積：①總面積為（a+n）（b+m）；②總面積為a（b+m）+n（b+m）或者ab+am+nb+nm.

圖1 廚房的平面布局

而New syllabus Mathematics則是選擇單獨列出代數式題目，通過獨有的“圓盤法”來演示整個運算過程，如：計算4x2+（-2x2），見圖2.

圖2 圓盤法計算4x2+（-2x2）

對比之下，我們可發現《數學》通過例子，使學生從結果出發來研究運算法則，并要求學生在一定程度上掌握了運算法則后，將之運用到一些與生活相關的應用題中.而New syllabus Mathematics則是通過讓教師演示、學生操作來簡單研究代數的運算過程，不具備任何的現實背景，這就顯得帶有一些機械性.從此角度看，二者雖然都貫徹了數形結合的思想，但《數學》更能體現出“數學源于生活又應用于生活”的觀念.

從另一個角度看，《數學》中代數式運算所涉及的項的次數更高，未知量包括了x、y、a、b、c、m、n等，且將運算與應用題相結合，這就對學生提出了更高的要求.而在New syllabus Mathematics中，不管是例題還是課后習題，都只涉及最高為2次且未知量僅為x的代數式.由此看出，我國更強調學生對于代數式這類知識的全面掌握，而新加坡更強調基礎，僅要求學生在簡單的學習過程中掌握二次表達式的定義及其運算規律.

3.內容應用

（1）題量

兩個版本的教科書皆安排了部分例題與習題，筆者對其數量進行了統計：《數學》涉及2個章節共8個小節的內容，題量為162，平均一小節題量為20.25；New syllabus Mathematics涉及1個章節共2個小節的內容，題量為45，平均一小節題量為22.5.

我們能夠發現《數學》習題的數量在比例上與New syllabus Mathematics相差無幾，這說明我國經過多次課改，使得《數學》習題的數量有所減少，減少了學生的課業負擔，這就為學生利用更多自由支配時間去找到個人愛好奠定了基礎，更有利于素質教育的開展.

（2）題型

《數學》的例題與習題主要以計算題為主，配以少量的判斷改正題、應用題及探究題.而New syllabus Mathematics的例題與習題則大部分為計算題，其余部分為探究題.可以發現，《數學》設置的題目由最基本的計算，到綜合的應用，最后到具有一定難度的探究，按照由淺入深的順序安排，說明我國在此塊內容學習中要求學生全面掌握.而New syllabus Mathematics則題型較少，但是對于乘法法則這一內容的學習，則花了很大篇幅讓學生自己去探究發現.這說明在此章的學習中，新加坡不要求學生接觸所有代數式，而只需牢牢掌握住有關二次表達式的運算法則.

（3）題目難度

筆者利用“數學課程的綜合難度模型”［7］對《數學》與New syllabus Mathematics中的例題與習題進行了統計分析，結果見表3和圖3.

表3 兩種教科書題目難度因素對照

圖3 兩種教科書題目難度因素

由表3與圖3，我們能夠直觀地看出在背景、知識含量、推理三個因素上，《數學》難度要遠高于New syllabus Mathematics，在探究與運算因素上 ，New syllabus Mathematics的難度要略高于《數學》.由圖3可知，《數學》綜合難度要高于New syllabus Mathematics.

四、結論與啟示

1.研究結論

通過上述分析、比較可知，在內容呈現方面，《數學》與New syllabus Mathematics在章首中都選擇了生活情境作為切入點，且二者都明確說明了本章的學習目標，但New syllabus Mathematics對目標的描述更加詳細，具有更高的操作性.在具體課堂引入方面，《數學》同樣偏向于情境引入，而New syllabus Mathematics則偏向于復習引入［8］.內容設置方面，《數學》側重于各類代數式概念的理解及其之間運算法則的掌握，同時《數學》為了讓學生更好地掌握高次代數式的乘法，補充了同底數冪的乘法.New syllabus Mathematics則側重于代數式中二次代數式這一概念，并通過大量的習題使得學生熟練掌握其運算法則.在例題、習題方面，《數學》題量巨大，包含了各種題型且具有一定的難度，強調鍛煉學生對數學知識的綜合運用能力，而New syllabus Mathematics題量少、題型單一，且不存在難題、偏題、怪題與繁題［9］.

2.對我國教科書編寫的啟示

通過上述比較分析，在肯定我國教科書具有某些長處的基礎上，我們也能發現其中存在著一些不足，而新加坡教科書在某些方面是值得借鑒的.

（1）學習目標應具有可操作性

明確、具體的學習目標能正確指引學生，使之把握本章內容學習的要求，進而提高自身的學習效率.《數學》在章節前言中的目標僅涉及了這一章節的重要知識點，顯得較為籠統，相比之下，New syllabus Mathematics則在章節前言中給出了更為明確的學習目標.這就值得我們借鑒，即在制定學習目標時，少用一些抽象或模糊的動詞，如：了解、熟悉、感受等，因為這類詞含義較廣，不同的人均可從不同角度理解，這就給以后的學習帶來了困難；多用能夠被檢測到的行為動詞或語句，如：能夠認出某一概念，能夠運用某一法則或方法解決某一問題等，這樣既有利于學生把握本章學習的重、難點，還有利于教師對學生作出正確的學習評價.

（2）堅持數學課堂與生活情境相結合

數學知識與生活情境的良好結合，能夠開拓學生視野，提高學生的學習興趣.并且創設問題情境實際上是我國所倡導的“創設情境—建立數學模型—解決問題”這一教學模式的首要環節，是這一教學模式能否成功的關鍵［10］.課堂上情境的創設，能夠讓學生少一些甚至不再有數學是一門枯燥、乏味的學科的想法，而讓學生真切感受到數學的自然與實用，如此學生才能以更積極的狀態投入到數學的學習中去.

（3）適當減少題量，提高題目質量

現如今倡導給學生減負的呼聲日益壯大，我國數學課本繁重的習題顯然已有些不合時宜，但是習題如若大量減少，又將影響我國要求學生全面掌握知識這一目標的實現.故我國數學教科書的編寫可以在保留知識量的基礎上，適當減少題目的數量，提高題目的質量，比如：刪除那些考查同一知識的重復題，設置成一知識點一例一問的形式；多設置“一題多解”題，培養和鍛煉學生的思維；多設置變式練習，即將基礎問題作為生長點，對基礎題的條件與結論進行延伸和擴展，發掘其內涵和外延，得到一條完整的“鏈條”.