培養(yǎng)建模意識，提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力

☉江蘇省連云港市贛榆和安中學(xué) 張維明

學(xué)習(xí)知識是為了應(yīng)用，學(xué)生只有在應(yīng)用中才能更加深刻地體會數(shù)學(xué)知識的價(jià)值，他們也將由此更加深刻地品味到數(shù)學(xué)研究的價(jià)值所在，進(jìn)而更加有效地對知識形成理解.事實(shí)上，我們很多學(xué)生由于缺乏建模意識，以致于無法準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用方法，這在很大程度上干擾了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.為此，筆者認(rèn)為必須在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生建模意識的培養(yǎng)，這將有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

一、建模意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用本就是一體兩面的事情，因?yàn)閷?shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問題的分析和處理，首先就要求研究者能夠從真實(shí)的場景中將數(shù)學(xué)模型提煉出來，然后應(yīng)用對應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律刻畫有關(guān)量之間的關(guān)系，進(jìn)而完成問題解決.就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力顯然還有其更加關(guān)鍵的意義，這是教師必須要明確認(rèn)識的.

1.數(shù)學(xué)知識與社會實(shí)踐的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)概念、理論和一系列方法都是對真實(shí)世界的反映，是人們對客觀存在的一種抽象認(rèn)識，以及對自身經(jīng)驗(yàn)的一種總結(jié).因此，在教學(xué)初中數(shù)學(xué)時(shí)，要充分體現(xiàn)“從生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，由數(shù)學(xué)走向社會”的基本理念，讓學(xué)生真正將數(shù)學(xué)知識和自身經(jīng)驗(yàn)融合起來，讓他們將數(shù)學(xué)思維運(yùn)用于問題的分析和解決.在這一系列活動(dòng)中，建模思維將成為一個(gè)關(guān)鍵的銜接點(diǎn)，成為學(xué)生立足數(shù)學(xué)、放眼世界的重要基石.

2.建模意識是數(shù)學(xué)抽象的起點(diǎn)

對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)因何而難？對數(shù)學(xué)愛好者來講，數(shù)學(xué)因何而美？筆者認(rèn)為抽象性是上述兩個(gè)問題共同的答案.在數(shù)學(xué)研究中，當(dāng)人們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法研究客觀世界的現(xiàn)象時(shí)，都要經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，而建模意識應(yīng)該是這一過程的起點(diǎn).在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)時(shí)，教師要善于啟發(fā)學(xué)生充分經(jīng)歷情境的分析過程，并全方位體驗(yàn)由情境到模型的思路建構(gòu)過程，這樣處理有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，當(dāng)然也有助于學(xué)生建模意識的發(fā)展.

3.數(shù)學(xué)建模和實(shí)際問題的解決

實(shí)際問題往往具有很強(qiáng)的開放性，其中可能包括一些冗余條件，當(dāng)然也可能缺少部分條件，這些需要研究者對問題情境進(jìn)行抽絲剝繭，架構(gòu)相關(guān)量之間的關(guān)系，并結(jié)合自己對數(shù)學(xué)規(guī)律的理解，選擇方程、函數(shù)、幾何等理論匹配模型的建立.因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模完全不同于以往的數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)，在培養(yǎng)學(xué)生的相關(guān)意識和能力時(shí)，不能局限于部分習(xí)題的聯(lián)系，教師要善于提供一些鮮活而生動(dòng)的問題給學(xué)生，讓學(xué)生自己通過閱讀提煉條件，并最終實(shí)現(xiàn)問題的解決.

二、初中數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生建模意識的基本策略

在初中數(shù)學(xué)課堂上，教師要注意研究學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)相應(yīng)的策略，從而發(fā)展學(xué)生的建模意識.

1.創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的數(shù)學(xué)情境，激起建模熱情

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)都要在一定的情境中進(jìn)行，良好的情境能夠更加有效地激活學(xué)生的探究熱情和好奇心理，從而讓其帶著飽滿的熱情參與到數(shù)學(xué)問題的探索之中.在初中數(shù)學(xué)課堂上，教師要積極研究學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和思維特點(diǎn)，從學(xué)生熟悉的生活背景中取材，將趣味性、懸念性等學(xué)生感興趣的元素融入到情境創(chuàng)設(shè)之中，并輔以富有啟發(fā)性的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在具體問題的分析過程中感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程，進(jìn)而觸發(fā)潛藏在學(xué)生內(nèi)心深處的數(shù)學(xué)探索欲望，將學(xué)生的建模靈感徹底激活.

2.鼓勵(lì)學(xué)生感悟真實(shí)生活，培養(yǎng)建模思維

數(shù)學(xué)建模不僅是一種數(shù)學(xué)問題的研究方法，更是一種思維方式，是一種充滿理性之美的生活態(tài)度.很多數(shù)學(xué)建模活動(dòng)都有與之對應(yīng)的生活原型，涉及生活中很多與之相關(guān)的其他知識，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)常性地接觸社會，豐富生活閱歷，引導(dǎo)學(xué)生逐步將建模思維延伸到生活之中，逐漸達(dá)成“拳不離手、曲不離口”的學(xué)習(xí)效果.

在建模教學(xué)的過程中，教師要積極從學(xué)生的生活周邊尋找素材，并以此為背景設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納、分析、推理的方法研究題意，從中提煉出數(shù)學(xué)模型，并最終在模型分析的過程中，形成建模意識，發(fā)展思維.

比如，在一次函數(shù)的教學(xué)過程中，教師可以從不同的生活場景中選擇素材，引導(dǎo)學(xué)生展開探索，并推動(dòng)學(xué)生建模思維的訓(xùn)練.生活背景1：某手機(jī)打車軟件搞推廣優(yōu)惠，提出凡使用該軟件打車，起步價(jià)為8元，超過規(guī)定的公里數(shù)，每公里要加收3元，則打車總費(fèi)用y和所超過的公里數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？生活背景2：某彈簧原長8厘米，現(xiàn)在用一定的拉力來拉這根彈簧，發(fā)現(xiàn)拉力每增大1牛頓，則彈簧的長度增長3厘米，那么，彈簧總長度y與增大的拉力值x之間的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？生活背景3：一個(gè)農(nóng)場主準(zhǔn)備規(guī)劃種植蔬菜的農(nóng)田面積，他原本準(zhǔn)備在一個(gè)長度為米、寬度為3米的長方形地塊上種蔬菜，現(xiàn)在準(zhǔn)備將長度延長x米，則菜地總面積y與延長的長度x之間的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？

通過上述函數(shù)關(guān)系的研究，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，雖然上述所列舉的情境存在明顯差別，但是最后的函數(shù)模型是同一個(gè)，即y=3x+8.學(xué)生也將由此感悟到數(shù)學(xué)知識的巧妙之處.

3.注意發(fā)散思維的培養(yǎng)，拓寬建模思路

受思維定式或?qū)W習(xí)方法的制約，很多學(xué)生在具體問題的處理過程中往往采用一種固化的模式分析和解決問題，這顯然是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大忌.事實(shí)上，靈活性和全面性才是數(shù)學(xué)思維最本質(zhì)的特點(diǎn).學(xué)生在進(jìn)行建模訓(xùn)練時(shí)，往往需要將一定的條件和所要研究的目標(biāo)聯(lián)系起來，事實(shí)上這種聯(lián)系并不唯一，很多時(shí)候是綜合且多向的.為此，初中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生的建模意識時(shí)，要注意鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，由此幫助學(xué)生掙脫單一思維的約束，以更加開闊的視角研究和分析問題，進(jìn)而拓展自己的建模思路，讓自己的思維更加靈活且深刻.

比如，在學(xué)生已經(jīng)對三角形的有關(guān)規(guī)律形成認(rèn)識之后，筆者設(shè)計(jì)了這樣的問題情境：現(xiàn)有如圖1所示的池塘，A、B兩點(diǎn)分別位于池塘兩端，現(xiàn)在要測定兩點(diǎn)之間的距離，但是不能用尺直接進(jìn)行測量，有什么辦法可以間接完成這個(gè)任務(wù)呢？

以上是一個(gè)典型的強(qiáng)調(diào)發(fā)散性思維的問題，學(xué)生通過分析可以建立這樣一些模型進(jìn)行處理：（1）構(gòu)建一個(gè)三角形及其中位線，利用中位線的特殊性質(zhì)解決問題；（2）構(gòu)建兩個(gè)三角形，從全等或相似的角度解決問題；（3）構(gòu)建一個(gè)正三角形或等腰三角形，然后完成問題求解；（4）構(gòu)建直角三角形，通過勾股定理完成問題等.教師如果不限定學(xué)生思考的方向，鼓勵(lì)學(xué)生從多維度探索和研究，就能得出很多意想不到的結(jié)論.

4.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的分類，引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)

教學(xué)中，教師不能讓學(xué)生固化思維模式，同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生在反思和總結(jié)中完成方法的歸納.就建模意識的培養(yǎng)來講，學(xué)生務(wù)必要注意數(shù)學(xué)模型的分類.學(xué)生在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中所接觸的數(shù)學(xué)模型包括方程組和不等式、函數(shù)模型，以及統(tǒng)計(jì)模型和幾何模型等.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)生要在具體問題的分析中進(jìn)行反思和總結(jié)，由此對建模思維的本質(zhì)產(chǎn)生更加深刻的把握.

圖1

學(xué)生運(yùn)用建模思想處理問題時(shí)，往往結(jié)合一定的規(guī)律搭建不同量之間的關(guān)系，然后用方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)工具將有關(guān)內(nèi)容串聯(lián)起來，在此基礎(chǔ)上結(jié)合運(yùn)算將相關(guān)量之間的關(guān)系梳理出來，并最終完成問題的解決.當(dāng)然，在分析和處理之后，學(xué)生還要聯(lián)系實(shí)際分析結(jié)果的合理性，比如，利用方程分析某一實(shí)際問題，而這個(gè)實(shí)際問題的數(shù)據(jù)不能是負(fù)數(shù)，這就必然要求學(xué)生對方程中可能出現(xiàn)的負(fù)數(shù)解做一個(gè)解釋或篩選.