一道國際幾何競賽試題的多種證明與教學啟示

☉北京教育學院朝陽分院 白雪峰

第四屆伊朗幾何奧林匹克競賽于2017年9月7日舉行，有43個國家和地區參加了此屆競賽.我國派出了北京市、上海市、南京市、杭州市的20所學校參加了此次比賽.比賽分為三個組別：初級組（七、八年級），中級組（九、十年級），高級組（十一、十二年級）.［1］筆者基于對初級組第3題的探究，在給出多種證明方法的同時，闡述了對初中平面幾何教學的思考與啟示.

一、問題及其分析

問題：如圖1，在正五邊形ABCDE中，過點C作CD的垂線，與邊AB交于點F.求證：AE+AF=BE.

分析：證明的結果是兩條線段AE、AF的長度之和等于第三條線段BE的長度，而證明此類問題的通性、通法是“截長補短法”.下面，筆者就利用這一方法證明本題.

為使多種證法簡潔、流暢，突出對問題本質的透視，筆者首先把在多種證明方法中反復應用的條件一一給出證明，以便在后續證明中能夠直接應用這些結論.

證明：如圖2，在正五邊形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=108°.

∠ABE=∠AEB=36°.

∠DEB=∠CBE=72°.

又∠DCF=90°，所以∠BCF=18°，∠BFC=54°.

連接EC，則有EC=EB，且有∠DCE=∠DEC=∠CEB=∠EBA=36°.

所以AB//EC.

所以∠ECB=∠EBC=72°.

所以∠ECF=∠BFC=54°.

說明：通過以上條件結論的梳理可以發現，在正五邊形中，各邊長相等，對角線長相等，添加輔助線后，還能夠生成多個頂角為108°、72°、54°、36°的等腰三角形，這些條件在問題的證明過程中都可以充分利用.同時，要特別關注與AF相等的線段，這也是證明本題的關鍵所在.

二、兩類六種證明

“截長補短法”是初中平面幾何問題中一種常見的輔助線添加方法，也是一種證明平面幾何問題的重要方法，其中蘊含著將幾何問題化難為易的化歸思想.下面，筆者就利用兩類方法，即“補短法”和“截長法”給出六種問題的證明過程.

第一類：補短法.所謂“補短”，就是在兩條短邊中選擇一條短邊加以延長，使延長后所得新線段的長度等于長邊的長.

證法1：如圖3，延長EA與CF的延長線交于點P.

因為∠EAF=108°，∠AFP=∠BFC=54°，所以∠APF=54°=∠AFP.

所以AF=AP.

因為AF//EC，所以∠ECP=∠AFP=∠APF.

所以∠ECP=∠EPC.

所以EC=EP.

所以AE+AF=AE+AP=EP=EC=BE.

證法2：如圖4，過點E作直線HG//FC，與BA的延長線交于點G，與CD的延長線交于點H.

因為BG//CE，所以四邊形CFGE為平行四邊形.

所以EC=FG.

注意到∠CFB=∠EGA=54°，因為∠EAB=108°=∠EGA+∠GEA，所以∠GEA=54°.

所以AG=AE.

所以AE+AF=AG+AF=FG=EC=EB.

證法3：如圖5，過點C作CG//EA，與AB的延長線交于點G.

因為AB//EC，所以四邊形AGCF為平行四邊形.

所以AE=GC.

所以∠ECG=∠EAG=108°.

注意到∠BFC=54°=∠FCE=54°，所以∠GFC=∠GCF.

所以FG=GC=AE.

所以AE+AF=GF+FA=GA=EC=EB.

說明：從證法1到證法3，應用的都是“補短法”，構造等腰三角形是其中相同且核心的步驟.證法1中構造的是以AF為一腰的等腰△APF，證法2中構造的是以AE為一腰的等腰△AGE，證法3中構造的則是轉化后的以GF（等于AE）為一腰的等腰三角形.雖然三種證明方法都需要添加輔助線，但是相對比較簡潔、明快.

第二類：截長法.所謂“截長”，就是將長邊（或與其相等的線段）截成兩段，使截得的兩條線段的長等于已知兩條短邊的長.

證法4：如圖6，過點F作FG//AE，與EC交于點G.

所以四邊形AEGF為平行四邊形.

所以AE=FG，AF=EG.

所以∠EAF=∠EGF=108°.

所以∠FGC=72°.

注意到∠ECF=54°，所以∠GFC=54°，所以GC=GF=EA.

所以AE+AF=GC+EG=EC=EB.

證法5：如圖7，過點A作AG//FC，與EC交于點G.

注意到AB//EC，所以四邊形AGCF為平行四邊形.

所以GC=AF，∠FCE=∠AGE=54°.

又∠AEG=∠AEB+∠CEB=72°，所以∠EAG=54°.

所以EA=EG.

所以AE+AF=EG+GC=EC=EB.

證法6：如圖8，連接EC、BD，設交點為H.

根據正五邊形的性質，則有EH//AB，BH//AE.

又因為AB=AE，所以四邊形ABHE為菱形.

所以AE=EH.

連接AH，則有AH⊥EB.

又因為CF⊥EB，所以AH//FC.

又因為HC//AF，所以四邊形AHCF為平行四邊形.

所以HC=AF.

所以AE+AF=EH+HC=EC=EB.

說明：從證法4到證法6，應用的都是“截長法”.證法4和證法5依然基于轉化思想，在轉化后構造了以AE為一腰的等腰三角形.證法6則獨樹一幟，簡潔漂亮，證明過程一氣呵成.首先，通過充分利用正五邊形的性質，獲得菱形AEHB；進而利用已知條件CF⊥EB，得到平行四邊形AHCF，最終，殊途同歸，應用與EB相等的對角線EC使問題得證.

回顧上述兩類六種證明，我們可以看到，在問題證明的過程中，越是能快速利用已知條件，證明過程就越簡單.事實上，證明越簡單，也就越能反映數學問題的本質.同時，簡潔的證明始終是數學推理的追求，簡單化原則也是數學科學不斷發展的生命.就像著名數學家丘成桐所說：數學家都希望用簡潔的數學語言將這些自然現象的本質表現出來.因此，在數學教學中，教師也要有意識地培養學生這種不斷追求、不斷超越、永不服輸、永不言棄的精神，這也是數學的精神.

三、教學啟示

啟示1：深刻認識平面幾何教學的教育價值

美國數學教育家波利亞（G.Polya）對“為什么要進行幾何證明”做過如下闡述：“如果一個學生不了解這個或者那個特殊的幾何事實，并不要緊，因為在他以后的生活中，也許很少用到這些事實.但是，如果他沒有學會幾何證明，他就沒學到真實論據的最好和最簡單的例子，也錯過了獲得嚴格推理概念的最好機會.”［2］我國數學家王元院士認為：幾何的學習不是說學完了這些知識有什么用，而是針對它的邏輯推導能力和嚴密的證明，而這一點對一個人成為一個科學家，甚至成為社會上素質很好的公民都是非常重要的.這個能力若能在中學里得到有效訓練，會終身受益無窮.［3］

由此可見，平面幾何問題的推理證明是培養學生創造性思維品質、發展學生邏輯推理素養和理性思維精神的有效載體.作為中學數學教師，應該十分重視并充分發揮平面幾何教學的教育價值.

啟示2：深刻認識添加輔助線的思維培養作用

解決平面幾何問題常常需要添加輔助線，恰當、準確地添加輔助線，不僅可以使問題迎刃而解，還可以使問題的解決過程簡化，論證表述簡潔.事實上，添加輔助線的作用就是將內隱在問題中的幾何圖形的特征和性質外顯出來，將題設條件和結論之間建立起邏輯關系，進而創造利用幾何定理解決問題的條件，達到推證結論的目的.

因此，平面幾何的教學要特別注重幾何直觀，要基于對幾何圖形特征的深入觀察分析，引導學生展開想象，直覺或邏輯地提出一些問題解決的設想、聯想或猜想，并以此為線索初步勾畫出解決問題的方案，進而經過精細的邏輯加工得出問題的完整解答.［4］同時，在課堂教學中，教師要特別關注添加輔助線對培養學生思維品質的作用，不斷引導學生追問添加輔助線的思路是如何想到的，認真指導學生回顧不同添加輔助線的思路對證明過程的影響，在回顧反思和對比研究的過程中驅動學生主動探究更加簡潔的思路和簡明的方法，從而促進學生不斷梳理和掌握添加輔助線的一般思路和基本規律，深刻體會蘊含于幾何問題解決過程中的數學思維之美、邏輯嚴謹之美和表達簡潔之美.

啟示3：深刻認識平面幾何教學改進的意義

圖形與幾何是數學學習的重要內容，在課堂教學過程中，作為數學教師，要不斷改進課堂教與學的方式，通過合理創設情境，引導學生認識圖形的定義、理解圖形的性質與判定，全程經歷觀察猜想、推理證明、得到結論的研究過程；通過精選幾何問題，引導學生對問題的已知條件進行深入理解、適度演變，指導學生在探求幾何圖形本質、拓寬幾何思維空間的過程中，理性認識動態幾何圖形在變化過程中的不變量或不變性；通過營造深度體驗交流活動的時空，引導學生對幾何問題證明思路的深刻分析和對證明過程的數學表達，指導學生學會把握幾何問題中條件與結論之間的關聯，促進學生掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題和數學地表達交流.

在平面幾何教學中，教師要善于選材，要充分利用那些“有意義且不復雜”的題目去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過對這些問題的一題多證（解）、一題多問和一題多變等途徑，引領學生深入挖掘幾何圖形的重要特征，深刻把握幾何問題內在的數學本質，充分發揮幾何問題內在的思維力量，驅動學生從多個角度探索解題的思路，促進他們系統把握平面幾何的有關知識，學會利用科學、準確的數學符號語言和圖形語言正確地表達邏輯思維過程.［4］

綜上所述，在課堂教學中，教師要通過精良的幾何問題，培養學生通過圖形直觀發現問題的幾何特征，正確運用圖形記號、數學符號語言和邏輯推理的方法表達平面幾何中的演繹推理過程.這樣做，便可將數學之大道自然融入問題的發現、提出、分析與解決的全過程之中，把學生獲得解題能力的眼前利益和提升數學核心素養的長期利益有機融合起來，讓學生通過“一道道門戶”，走進一個完整的學習領域，體驗探索發現的生命意義，切實發揮平面幾何教學的育人價值.［5］