泊松分布的幾點說明

河南質量工程職業學院基礎教學部 趙曉艷

在介紹泊松分布之前，我們先介紹二項分布。泊松分布符合二項分布前提條件，是在二項分布基礎上的一種特殊分布。

一、二項分布

二項分布適合的類型：二項分布適用伯努利概型，即隨機事件A只有兩種結果，要么發生，要么不發生。如果我們假設事件A發生的概率為p，那么不發生的概率就是1-p。生活中比較典型的例子，比如投籃球、扔一枚硬幣、彩票中獎、射擊目標等，這些例子都是比較典型的伯努利概型。比如射擊，對于一個人來說，在某段時間內射擊水平穩定，每射擊一次，命中的概率為p，未命中的概率就是1-p。又比如一個人在某段時間內投籃球命中率也是固定的，假設命中率是百分之六十，那么未命中的概率就是百分之四十。下面我們給出伯努利概率的具體定義。

n重伯努利試驗：獨立重復進行n次伯努利試驗，這一獨立重復試驗序列為n重伯努利試驗。

伯努利定理：假設獨立重復進行n次試驗，在一次試驗中，事件A發生的概率為p，在n重伯努利試驗中，事件A發生K次概率為

下面介紹伯努利概型前提下的幾種分布。兩點分布：當隨機變量X取值只有兩個，假設為對應的概率為其中，如果則隨機變量X服從參數為p的兩點分布，記為用式子表示為則依此公式可列出隨機變量X的分布，也可以用表格，表格更加簡單明了，學生更容易理解運用。有一種特殊情況，如果這時，隨機變量X的分布稱為0-1分布，容易看出，0-1分布是二項分布的一種特殊情況，它符合二項分布的所有特征，包括前提條件等。現實生活中，比如投籃球、射擊等，就是非常典型的兩點分布，也是0-1分布。比如射擊，我們可以把命中記為未命中記為如果命中概率為百分之七十，那么未命中概率就是百分之三十，如果看作0-1分布的話，令即可。下面我們來介紹二項分布，此試驗獨立重復進行n次，假設事件A發生的概率為p，記隨機變量X為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，當隨機變量X所有可能取值為0、1….n，則隨機變量X的分布用式子可以表示為：若隨機變量X分布列為此形式，則稱隨機變量X服從參數為np的二項分布，記為當然，也可用表格形式表示。此分布稱為二項分布，因其表達式和中學里的二項式定理展開式非常類似，因此叫作二項分布。當二項分布中隨機變量X取值只有兩個時，二項分布即為兩點分布。由此我們可得：兩點分布是二項分布的特例，而0-1分布又是兩點分布的特例。

二、泊松分布

二項分布中當n非常大，但是同時事件A發生的概率p又非常小時，此時用二項分布中求概率公式已經很難求出其值，例如，因為n很大，p很小時，導致展開式非常難計算，有時候必須借助計算機才可以計算最終結果，這時候我們引入泊松分布，泊松分布在離散型分布中具有非常重要的意義，例如在一個醫院中，每個病人來看病都是隨機并獨立的概率，則該醫院一天（或者其他特定時間段，如一小時、一周等等）接納的病人總數可以看作是一個服從poisson分布的隨機變量。但是為什么可以這樣處理呢？最好的解釋方法是從poisson的兩種不同定義上著手。Poisson分布的第一個定義泊松分布：假設隨機變量X的分布為：，其中則稱隨機變量X服從參數為 的泊松分布，記為這個定義就是我們平時考試或者理論工作時用的poisson隨機變量的定義。

泊松定理：在n重伯努利試驗中，事件A在一次試驗中發生的概率為p，我們取則對任意確定非負整數k，有注意Poisson還有一個知名度比較小的第二個定義，或者說是Poisson Process定義：假定一個事件在一段時間內隨機發生，且符合以下條件：（1）將該時間段無限分隔成若干個小的時間段，在這個接近于零的小時間段里，該事件發生一次的概率與這個極小時間段的長度成正比。 （2）在每一個極小時間段內，該事件發生兩次及以上的概率恒等于零。（3）該事件在不同的小時間段里，發生與否相互獨立。 則該事件稱為poisson process。這個第二定義就更加利于大家理解了，回到醫院的例子之中，如果我們把一天分成24個小時，或者24×60分鐘，或者24×3600秒。時間分得越短，這個時間段里來病人的概率就越?。ū热玑t院在正午12點到正午12點又一毫秒之間來病人的概率是不是很接近于零？）。條件一符合，如果我們把時間分得很細很細，條件二也符合。條件三的要求比較苛刻，應用到實際例子中就是說病人們來醫院的概率必須是相互獨立的，如果不是，則不能看作是poisson分布。問題是為什么現實生活中的情況（如醫院例子）會服從poisson分布的第一定義?現在有了第二定義作為橋梁，應該就很容易理解了。現實生活中的例子中如果事件相互獨立，那么它就是符合poisson分布的第二定義的。而從poisson第二定義到poisson第一定義之間是有嚴格的數學證明的。因為泊松分布在實際生活應用中有廣泛的現實背景和意義，比較典型的例子有在某一個紅綠燈路口發生交通事故的件數、一個紗線廠紗線在某一段時間內出現的斷頭數、某縣年齡在100歲以上居民人口數、火山在某時間段內噴發次數等等，這些例子都有一個共同特征，那就是這些事件都是稀有事件，發生次數服從或者近似服從泊松分布。所謂稀有事件，即為每次試驗中事件發生的概率非常小，如洪水、火山噴發、地震、工廠出現次品乃至銀行印鈔機印出錯鈔都屬于此事件，這種情況一般都是n很大，p很小，這時候雖然試驗都符合伯努利概型，也可以用二項分布概率公式求出，但是出現一個很難解決的問題：大部分概率利用此公式計算起來都非常困難，這時候二項分布可以近似為泊松分布，利用泊松分布概率分布表，即可求出概率。

接下來我們看一個例子：設某保險公司的某人壽險種有2000人投保，每個人在一年內死亡的概率為0.002，且每個人在一年內是否死亡相互獨立，試求在未來一年這2000人中死亡人數不超過8人的概率。此問題屬于伯努利概型，符合二項分布，且從題中可以看出，n=2000，p=0.002，我們先用二項分布解決這個問題：如果利用二項分布公式計算，需要計算8個式子，況且每一個式子都需要計算機才能計算出結果，但同時我們發現此案例中，n很大，p很小，np=4，符合泊松分布，因此我們轉換思路，利用泊松分布計算。我們假設2000個投保人在一年內死亡人數為X，則2000個投保人在一年內死亡人數不超過8人的概率為：由此可得2000個投保人在一年內死亡人數不超過8人概率為0.9781，非常接近百分之百，由此結果我們可以看出，雖然投保人達到2000人，但是因為概率非常小，最后得到一年內死亡人數不超過8人幾乎是絕對的，由此保險公司可制定出適宜的政策，從而獲得最大收益。

本文主要講了泊松分布的幾點重要的說明。首先介紹0-1分布和兩點分布，給出了具體形式和適用前提條件，然后引出二項分布，通過分析我們得出0-1分布是兩點分布的特例，兩點分布是二項分布的特例，進而我們又通過二項分布引出泊松分布，給出了泊松分布的背景和研究意義，又得出二項分布可視為泊松分布的條件，并且給出在此條件下為何二項分布可視為泊松分布。同時我們又給出讀者典型案例，說明泊松分布在計算中的重要性，最后給出本文小結。

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