函數y=Asin（ωx+φ）+h的單調性以及在給定區間上的最值的教學法探究

廣東省珠海市第二中學 謝 鋒

三角函數是高中階段學習的一種比較特殊的函數，也是基本初等函數之一，教材專門設立一章進行學習，其重要性不言而喻。在教學中，需要呈現幾類基礎問題：（1）研究三角函數必須在定義域內進行，求定義域、值域；（2）求單調區間；（3）奇偶性、周期性。而在這些常規問題教學中，學生最容易出現混淆的就是求單調區間與定區間值域的問題。

一、問題的提出

在三角函數的教學中，討論函數（通常A＞0，ω＜0，以下同）的單調性以及該函數在給定區間上的最值，是兩個基本的教學課題，很多學生都有出現相同的“障礙”。

1．“障礙”的界定

解決單調區間和求值域用“換元法”。設X=ωx+φ，則y=AsinX+h，由即函數的單調遞增區間為

由x∈[a，b]有X∈[ωa+φ，ωb+φ]，依據函數y=AsinX+h（X∈[ωa+φ，ωb+φ]）求得 y的最值。

不難看出，在上面兩種處理中，存在兩個相反的過程：前者由X的范圍求得x的范圍，即函數的單調區間；后者由x的范圍求得X的范圍。在與學生交流和答疑的時候經常發現，無論怎么講解，大部分學生始終無法理解，解決這兩類問題為什么是相反的過程，而且就是那么解？

2．“教學法”的界定

函數的單調性以及該函數在給定區間上的最值，也可稱為兩個數學問題。上面的解決方法學生可以從教材或參考書籍上看到，甚至通過自學掌握。鑒于學生的學習主要還是通過老師、課堂這樣的渠道，或者說通過教學習得，所以對上面兩個數學問題的處理，我們不叫“解題方法”，而稱為“教學法”。此處的“教學法”是一個整體性的概念，一個我們研究的對象。（為了研究，我們約定不管是經驗豐富的還是經驗欠缺的教師，采用本“教學法”理論上的效果相同）

二、教學探究

解：由y=sinx的對稱中心是（kπ，0），對稱軸是

增區間是減區間是得：的對稱中心是對稱軸是增區間是減區間是

該教學法的簡單評價：我們在教學過程中并不需要畫出的圖象，再對此類問題進行研究，而是回歸本源，我們從y=sinx 的圖象出發，去探究y=sinx的圖象所顯示出的函數性質，再通過換元求解。

例2 已知函數求函數的最大值和最小值。

解法1：由函數在區間上遞減，

所以函數上遞增，

即函數在[0,2π]上遞增，在區間[-π，0]上遞減，

所以當取得最小值1，

又當當x=2π時，

所以取得最大值

解法2：令

所以

根據f（x）=cosX的函數圖象，

當

當

該教學法的簡單評價：求函數在給定區間上的最值，在“導數的應用”部分討論得比較多，本教學法與“用導數求函數在給定區間上的最值”的教學法相同，換句話說，用教學法一更能凸顯教學法的通用性質。但是在本題的教學中，解法2我們仍然可以通過換元法來解決，即令將問題轉化，再求f（x）=cosX，的值域。而此題在教學中更加注意強調：切不可將區間的端點直接代入確定范圍。已知自變量的范圍求三角函數值域，關鍵是整體代換思想的應用，所以本題的換元法更加讓學生容易理解。三角函數的圖象從“形”的角度完全反映了三角函數的性質，所以在解決此類問題時應該注意對圖象的應用。

補充練習：

1.求函數的單調遞增區間。

2.求函數的單調區間。

3.求函數的最大值和最小值。

4.已知函數f(x)的定義域為[-1,3]，求函數y=f（3x-2）的定義域。

解：1.設則y=sinX，

解得

所以，函數的單調遞增區間為

2.在習題1的基礎上求解解得單調區間

3.設則y=2sinX，

因為

由函數y=2sinX的圖象知，當函數取得最大值2，

當函數取得最小值-1。

4.令t=3x-2，由-1≤t≤3有-3≤3x-2≤3，故y=f(3x-2)的定義域為

點評：4個習題的解法都有很明確的指向性：應用換元法，雖然仍然擺脫不了解題過程互逆，學生容易混淆的問題，但是我們應該明確：學生并不是因為方法相近而混淆，而是沒有抓住解題的主線而混淆，所以在教學過程中我們建議：以一種方法、一個習題作為突破口，這樣既可以加深對比，又可以使得一節課主線清晰，重點明確。為了彰顯換元法在三角函數中的重要作用，我們不妨再看一道題目：

例3 求函數

分析：本題最常規有3種解法：

（1）直接法：直接利用sinx，cosx有界性求解。

（2）化一法：把三角函數化為t=Asin（ωx+φ）的形式，逐步分析ωx+φ的范圍，由正弦函數或余弦函數的單調性寫出函數的值域。

（3）換元法：把sinx，cosx，sinxcosx換成t，轉化成普通的函數問題。

本題的解析我們將著重分析換元法：

換元法1：（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx,sinx則轉化為在定區間求值域的問題。

換元法 2：設 sinx=m+n，sinxcosx=2m，sinxcosx=m2-n2，由

點評：求值域是三角函數很常見也很基礎的一類問題，和前面的例題看似沒有共性，但是在解題過程當中都是緊扣換元法，在換元中要注意對變量范圍的控制。同時，兩種換元法是不同的，一種是以sinx+cosx和sinxcosx的關系作為主線，進行平方換元再定界，而換元法2是以sinx，cosx進行巧妙換元，這和求不等式范圍的一類習題方法非常相似。

四、結論和討論

事實上，從初中到高中，學生要學習一次函數、反比例函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等七種基本初等函數，都會經歷從基本初等函數y=f（x）的圖象與性質擴展到函數y=f（ωx+φ）的圖象與性質的過程。由前面的討論，有兩種不同的“路徑”：（1）利用圖象的平移、伸縮得到函數y=f（ωx+φ）的圖象，再依據圖象討論其性質，不妨稱之為“前進的構造方式”；（2）令X=ωx+φ，則y=f（x），依據函數y=f（x）的圖象與性質，得到函數y=f（ωx+φ）的性質，不妨稱之為“后退的歸一方式”。

前面的討論說明，就“前進的構造方式”而言，部分學生會出現“障礙”。從教學法的角度，這即是說存在兩種不同的“教學法”。此外，綜合前面的討論，筆者在此提出一個概念：教學法的障礙。也就是說，學習者在學習的過程中出現的各種障礙，除了自身認知的原因，教學法也是一個重要的因素。因此，正如Nicolas Balachrff在《數學教育心理學研究展望》中所說的：如果不對有關數學概念的構成做深刻的認知論分析，那么有關代數、幾何、微積分學習的研究不可能得到深入（《國際展望：數學教育評價研究》）。仿此可以說：如果不對數學的教學法做切實的研究，那么有關代數、幾何、微積分學習的研究不可能得到深入。“正如經常表明的那樣，許多學生不是通過所要求的數學推理，而是通過教學法的習慣來解一個題目，因此，只要學生知識建構的真正含義尚未解決，那么關于教學法的任務和它與學習過程的關系的研究就是非常困難。”

從我們實際的教學角度講，如何讓學生突破本篇文章所討論的教學難點，本人認為，通過一點集中突破,即緊緊抓住正余弦函數圖象，從圖象出發研究性質，解決問題，同時配合一種解題方法（換元法）進行講解，既有針對性，又有課外的延展性，學生在對比中學會思考，在思考中學會類比，進而解決本文章所提出的教師的困惑和學生的迷惘。