平面解析幾何如何突破審題難

關(guān)潘鵬

我們知道解題都要突破審題難關(guān)，那解決平面解析幾何問題，除了要注意一些一般的審題注意點外，還有什么要特別注意的地方？并且，我們能不能在審題階段就奠定解題的思路和方向呢？下面，結(jié)合具體問題，筆者將談?wù)勛约旱囊恍└形?

一、結(jié)論導(dǎo)向，追本溯源

這種審題思路就是所謂的“分析法”，也是解數(shù)學(xué)題的一般思路，即從要證明或求解的結(jié)論逆推，逐步尋求每一步結(jié)論成立的前提條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為一個明顯成立的條件或已知定理為止，這種審題思路比較適合解析幾何中的求值問題和證明題.

二、幾何定向，代數(shù)運算

我們知道，解析幾何最終的研究落腳點還是幾何，所以我們在解題時，應(yīng)積極通過尋找已知幾何量的關(guān)系來確定計算方向，后續(xù)的計算環(huán)節(jié)，絕不是漫無目的的“死算”，而是在幾何條件的指引下，有的放矢的運算，這樣的“幾何定向”，既可以秒殺小題，也可以在大題目中一顯身手.

例3已知點C（1，0），點A，B是⊙O：Xx²+y²=9上任意兩個不同的點，且滿足AC⊥BC，設(shè)P為弦AB的中點.求點P的軌跡T的方程.

審題突破 注意到條件AC⊥BC，想到連結(jié)CP和OP，在Rt△ABC中可得CP=AP=BP，然后，由垂徑定理得OP²+AP²=OA²，即OP²+CP²=9，再設(shè)點P（x，y），代人列式即得第一問答案是x²-x十y²=4.

通過這兩個例子，可以發(fā)現(xiàn)解析幾何中幾何關(guān)系的運用是非常關(guān)鍵的，往往決定了運算的方向，只有當(dāng)運算方向確定了，我們的計算才能夠做到有的放矢，事半功倍.

三、合理歸類，預(yù)估算量

解析幾何問題有一些固定的類型.常見的有與弦有關(guān)的問題、最值問題、面積問題、定值定點問題、多變量問題、阿波羅尼斯圓問題等等.在審題的時候，可以有意識地進行歸類，結(jié)合已有解題方法和經(jīng)驗解決問題，另外，合理設(shè)計解題思路也是非常重要的，盡量避免想到哪算到哪，要對整體的運算量有個大概的把握，這樣才能在真正動筆時做到心中有數(shù)，

例4 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x²+y²-12x-14y+60 =0及其上一點A（2，4），

（l）設(shè)圓N與z軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC=OA，求直線l的方程;

（3）設(shè)點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得ATPQ是平行四邊形，求實數(shù)t的取值范圍.

審題突破 通過審題，我們發(fā)現(xiàn)題（l）就是求圓的方程，題（2）是求直線方程，都可用前兩種審題方法迅速解決.

例4結(jié)合多變量問題的背景，都是將原問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系來解決.對于這類有章法可循的解析幾何問題，多掌握幾種解題“套路”一定是不錯的，

萬事開頭難，審題作為解題的第一個環(huán)節(jié)，非常關(guān)鍵.在面對一道解析幾何問題時，我們要善于審視題目中的關(guān)鍵條件，根據(jù)具體情境采用多種審題策略，找到解題的突破口，在得到最終結(jié)論后，還要注意進行再次審題，防止出現(xiàn)條件理解錯誤、答案圖形與題意不符等情況，這樣可以最大程度地減少錯誤和遺漏.