抓住定義，把握性質
——圓錐曲線理解中的典型錯誤剖析

單建軍 錢 慧

圓錐曲線是高考考查的重點和難點內容之一．題目通常以計算量大，綜合能力強著稱．對于同學們而言，解題時基本概念和性質理解的偏差，往往會導致滿盤皆輸，我們可以從以下幾個方面加以歸納和總結．

一、對圓錐曲線的定義的理解

例1已知定點F1（－1，0），F2（1，0），動點P到F1，F2的距離之和為2，則點P的軌跡是________．

錯解由橢圓的定義P的軌跡是橢圓．

錯因剖析對于橢圓的定義把握不準．橢圓定義要求動點到兩個定點的距離之和要大于兩個定點之間的距離．而本題中PF1＋PF2＝F1F2，從而不符合橢圓的定義．

正解結合數軸，P的軌跡是線段y＝0（－1≤x≤1）．

例2已知定點F1（－1，0），F2（1，0），動點P滿足，則點P的軌跡是________．

錯因剖析對于雙曲線的定義理解不透徹．雙曲線的定義要求動點到兩個定點的距離之差的絕對值為定長．而本題沒有絕對值，故應該是雙曲線的右半支．

例3已知動點P到（0，0）的距離與點P到y軸的距離相等，則點P的軌跡是________．

錯解由拋物線的定義知，軌跡是拋物線．

錯因剖析對于拋物線的定義理解不準確．拋物線的定義中要求動點到定點的距離與它到定直線的距離相等，其中定點不在定直線上是問題的關鍵．

正解P的軌跡是直線y＝0．

在問題的處理過程中一定要理解定義的每一句話，尤其是幾個注意點，比如橢圓要求動點到兩個定點的距離之和要大于兩個定點的距離，雙曲線的定義中要求是距離之差的絕對值，拋物線要求定點不在定直線上等等．

二、對圓錐曲線的標準方程及其性質的理解

例4已知橢圓的離心率，則m＝________．

錯解因為所以m＝3．

錯因剖析對于橢圓的標準方程的理解有偏差，本題橢圓的方程不一定是焦點在x軸上的標準方程，故還需要考慮焦點在y軸上的橢圓的情形．

正解（1）當焦點在x軸上時，因為，所以m＝3．

（2）當焦點在y軸上時，因為，所以

綜上：m＝3或

例5已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為________．

錯解因為漸近線方程為所以，故離心率

錯因剖析對于雙曲線的性質理解不透徹，其中漸近線方程要區分焦點在x軸上還是y軸上．焦點在x軸上時，漸近線方程為，焦點在y軸上時，漸近線方程為．

正確解答（1）焦點在x軸上時，因為漸近線方程為，所以，故離心率

（2）焦點在y軸上時，因為漸近線方程為，所以，故離心率

例6拋物線的焦點坐標是________．

錯解由拋物線的標準方程可知，焦點坐標為

錯因剖析對于拋物線的標準方程和性質認識不到位．標準方程的形式應該是x2＝2py，焦點坐標是

正解拋物線的標準方程為x2＝4y，從而2p＝4，所以焦點坐標為（0，1）．

處理問題的過程中一定要熟練掌握圓錐曲線的幾種形式的標準方程及它們的性質，注意區分橢圓以及雙曲線焦點分別在x軸，y軸上的異同點，注意區分幾種形式的拋物線的標準方程以及其性質的異同點．

在我們平時的學習過程中一定要抓住問題的實質，注意易錯點，加強訓練，逐漸提高分析問題和解決問題的能力．同時要注意提高處理問題的嚴謹性，才不至于“差之毫厘，謬以千里”．