空間向量在立體幾何中的運用

王央

【摘 要】立體幾何作為整個高中最重要的一部分，同時也新增添了“空間向量”這一節知識，空間向量是平面向量的延續性知識，空間向量本身就具有代數形式與幾何形式，關系到整個學習的過程，也體現了數形結合的思想，注重轉形為數，突出數的運算。

【關鍵詞】立體幾何；空間向量

向量是我們高中數學最重要的概念之一，它是代數、幾何以及三角函數的一種工具，有很實際的用處。空間向量的出現為高中階段帶來諸多驚喜，利用空間向量來處理幾何問題，這種方法就可以起到避免復雜空間想象的問題，將復雜的邏輯思維推理變成簡單明了的代數運算，可以減少解題的問題難度作用，可以引導學生的思維簡單化，減輕學生的思想負擔。所以，利用空間向量可以把幾何結構變的代數化，以數名形，因此，向量成為最具有影響力的優良運算通性的數學體系，它成為了研究立體幾何的重要工具。空間向量作為有方向和長度的量，不僅可以能夠像象數一樣進行運算，又可以像幾何一樣可以用量去解決點、線、面的位置關系問題和求角以及距離問題等等，可以應用向量去解決點線面等例子，以此來總結歸納各題型的解法，強化“用量”的應用價值，激發學生的學習興趣。

學生應該明確向量的概念。1.要知道向量的定義：既有大小又有方向的量。向量常用一條有向線段來表示，主要研究空間向量在立體幾何中的作用所以也必須要清楚在幾何中是怎么表示的。幾何表示：向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。比如：若規定線段AB的端點A為起點，B為終點，則線段就具有了從起點A到終點B的方向和長度。這種具有方向和長度的線段叫做有向線段。還有一種就是坐標表示，分別是在平面直角坐標系中、立體三維坐標系中以及對于空間多維向量等。那么向量是怎么表示的呢，它的代數表示：一般用黑體小寫字母α、β、γ等來表示或者通常用簡單的a、b、c等來表示。如果手寫的話可以在a、b、c等字母上加一箭頭表示。兩條異面直線的方向向量：垂直于兩條異面直線所在直線的方向向量的向量，平面的法向量：表示向量的向線段所在直線垂直于平面，則向量叫做平面的法向量，法向量就是指平面的特征向量，它是處理有關平面的軸心骨。2.向量方法總結。對于向量方法，可以簡單想一下：首先是由空間向量引起的計算，空間向量的運算，空間向量的運算又分三部分第一部分是加減和數乘的運算，第二個是共線向量和共面向量其次是空間向量的數量積。由前兩部分到空間向量的基本定理到空間向量的坐標運算最后到夾角和距離平行和垂直，也可以直接由空間向量的數量積直接轉換到夾角和距離平行和垂直。用向量法解集體幾何時我們應該掌握基礎知識一個是數量積的公式另一個就是射影公式。數量積的定義：已知兩個非零向量a、b。作為OA=a，OB=b，則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，計作（a，b）并且規定0小于等于（a，b）小于等于兀，兩個向量的體積（內積，點積）是一個數量，計作a.b。若ab不共線，則a.b=lal.lbl.cos（a，b）；若ab共線則a.b=+-lallbl。其實無論是做什么，不僅要學會方法，更要讓自己細心，耐心去面對每一道題不要馬馬虎虎。3.利用空間向量去處理及立體幾何的關鍵點。首先要利用空間向量處理立體幾何問題的關鍵所在就是空間直角坐標系，建系應該遵循兩個原則，首先要尋找墻角模型即三條兩兩垂直于同一點的直線，其次就是利用直線垂直于面，以這條直線為z軸，以這個面內互相垂直的兩條直線為x軸和y軸建立空間直角坐標系，若有面垂直于面，則通過面垂直于面的性質定理就可以得到線垂直于面，合理地建立空間直角坐標系，這不僅是完成從幾何問題向代數問題轉化的基礎，對于來說也是一大難點。4.建立空間直角坐標系后如何確認各點。建立空間直角坐標系后，可以采用化立體為平面的策略，所以要先確認豎坐標，然后像平面直角坐標系一樣確定橫坐標和縱坐標，一般有些點會比較難求，所以需要結合課本上的平面基本知識確定。

以上就是總結空間向量在立體幾何中的應用方法，其實有些學生偏科是比較嚴重的，尤其到高中之后數學越來越難，有些學生就直接放棄了數學，選擇文科，其實不是學生腦子不開竅，而是思維方式的問題。數學其實就像是推理過程，通常，方法總是相反的，一定要學會舉一反三，以此去類推，每做一道題時應該去思考這道題關系到哪部分的知識點，是根據什么來的，就要刨根問底追其根源。每次學習一個新的公式或者知識點時，看似簡單淺顯的知識，其實都是用來引導的，不要覺得聽會了就好了，要沿著課本給的方向的去思考去探索。一通百通，一通百用就是用來描述數學的。要學會觸類旁通，不能只在上課聽會就好。當學完所有的知識點就會綜合在一起，就需要學生拓展思維去聯系學過的公式，聽到一部分能聯想和質疑一部分的時候我，想學生的腦袋就是“開竅”了。可以多做類型題積攢知識點，這是鞏固知識比較有效的方法。也希望學生們遇到困難不要放棄，生活不是只有黑夜，還有白天，無論是學習還是生活都希望學生不要放棄，要有堅持不懈的精神，努力了就一定有成功的機會。