主成分分析法及其在經濟金融中的應用淺析

孫一然

【摘 要】主成分分析法，是對多變量大樣本數據的一種有效的研究方法。本文首先介紹主成分分析法的應用背景、定義和基本步驟，進一步介紹其內在本質，即數學中的降維思想。并通過主成分分析法在經濟、金融中的應用，說明數學知識對于各個社會領域的重要的應用意義。

【關鍵詞】主成分分析法；經濟金融；應用

一、主成分分析法

在許多領域中，往往涉及多變量大樣本的數據，對這些數據進行分析和預測時，不能僅僅考慮單個變量的影響，而需要多個變量協同考慮。然而，多個變量又相互作用，這就給分析和預測帶來了一定的難度。對此，需要引入合適的方法，將變量的數目簡化，從而用較少的綜合指標來反映多個變量中存放的信息。主成分分析就是這樣一種方法。

（一）主成分分析法的定義

主成分分析法（principal component analysis，PCA）是一種數學變換的方法，它把給定的一組相關變量通過線性變換轉成另一組不相關的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數學變換中保持變量的總方差不變，使第一變量具有最大的方差，稱為第一主成分，第二變量的方差次大，并且和第一變量不相關，稱為第二主成分。依次類推，I個變量就有I個主成分。

（二）主成分分析法的具體步驟

1）將原始數據按行排列組成矩陣X；

2）對X進行數據標準化，也就是使其均值變為零；

3）求X的協方差矩陣C；

4）將特征向量按特征值由大到小排列，取前k個按行組成矩陣P；

5）通過計算Y=PX，得到降維后數據Y；

6）計算每個特征根的貢獻率，貢獻率的大小一般用該特征根對應的特征值占特征值總和的比重來表示。

（三）主成分分析法所體現的數學思想

運用主成分分析的目標，是希望用較少的變量去解釋原來資料中的大部分變量，通常是選出比原始變量個數少，能解釋大部分資料中變量的幾個新變量，即所謂主成分。由此可見，主成分分析法實際上是一種降維方法。

降維思想，是數學這門科學中，最為重要而基本的思想之一。在高中的學習中，我們已經接觸到了二維空間和三維空間，知道可以用N維向量來表示N維空間中的點。事實上，不僅限于空間幾何領域，在數學上，任何一組不完全重疊的多維向量，都可以構成一個多維空間?！案呔S空間”的概念，大大提高了人們用數字這種抽象化手段來描述現實的能力。數學來源于實際而又高于實際，在實際問題中，面對眾多的變量，其取值往往構成高維向量，因此，處理它們之間的關系，并加以應用，就需要使用高維空間。而對高維空間最為重要的處理方式，就是簡化其維度，化繁為簡，提取核心，實現降維。在降維過程中，我們提取了高維數據中有用的信息，而忽視了冗余或重復的信息，從而使得其接下來的數學處理變得簡單。例如，在常見的二元一次方程組中，“消元”的過程就是把二維問題轉化成一維問題，從而用低維度的思想去解決的一個典型例子。主成分分析中所體現出的降維思想，與這種方法一脈相承。

二、應用

經濟和金融領域是典型的自然科學與社會科學相結合的領域，經濟金融系統具備典型的“復雜”、“高維”、“相關性強”等特征。當我們想要對其中的某個關鍵指標進行預測時，該指標往往受到多方面因素的共同作用，而這多方面的因素又存在很強的相關性。這種情況，正適合用主成分分析法來精簡數據結構，并做出進一步預測。

（一）經濟領域的應用

主成分分析法應用于經濟學領域，適用于做多變量的時間序列預測。經濟數據中大部分數據為時間序列數據，單一指標時間序列的預測問題已經在理論上得到了深入的研究，并在各類實際問題中得到了廣泛的應用。常用的ARMA，GARCH等模型，幾乎可以解決大部分的預測問題，對于數據結構也會有清晰的描述。然而實際的經濟問題中往往需要對多個經濟指標同時預測，且需要考慮這些指標之間的相互關系。此時，單變量的時間序列模型就不再適用。一個自然的想法是將多個指標簡化為不相關的少數幾個指標，主成分分析法可以適用于這類問題。

（二）金融領域的應用

在金融領域，一個典型的應用主成分分析法的例子是在量化投資領域的多因子選股體系中。在用多因子的方法進行選股時，需要通過財務數據、量價數據、資金數據等多方面的數據（稱為因子），來預測下一期股票收益率的走勢，從而判斷是否將該股票納入股票池。這就需要準確的尋找出對股票收益率有顯著貢獻的因子。然而，多個因子間往往存在共線性，也就是相關性較強，起到的作用類似。例如財務因子中的PB和PE，分別代表市盈率和市凈率，本質上都是該股票估值的體現。除此之外，過多的因子會使得股票收益率的預測變得更為復雜，從而難以進行股票篩選。因此，一個比較理想的處理方案就是將這些因子降維，重新組合成少數幾個相互獨立的因子。這樣的因子雖然沒有明顯的經濟學意義，但對于選股卻有顯著的效果。而這個過程，正是進行主成分分析的過程。

三、小結

不難發現，在經濟金融領域，由于涉及大量的高維數據需要進行分析和預測，所以非常適用于主成分分析法這種降維分析方法。事實上，主成分分析法在工業領域、環保領域等各個方面，都有廣泛的應用。這也進一步說明了數學對其他領域的重要的應用意義。

【參考文獻】

[1]范明明.基于主成分分析的多變量混沌時間序列預測研究[D].大連理工大學，2006

[2]劉超.基于主成分分析的多維時間序列預測[J].中央民族大學學報（自然科學版），2016.25（04）：27-29+33