基于“多維互動對話”的高中數學課堂活動實踐*
——以“導數的概念”為例

☉江蘇省太倉高級中學 陸 麗

根據新課改的要求，教師要激發學生的積極性，與他們展開課堂互動，引導其主動進行學習.在“多維互動對話”環境中，教師發展學生的數學思維，激發他們的創造精神，回歸高中數學教育的本質，這也符合新課程的改革精神.下面，筆者就以“導數的概念”這節課為例展開高中數學“多維互動對話”教學實踐.

一、情境創設，師生交流

師：我們在上節課中學習高臺跳水等實例，掌握了平均變化率的相關概念，大家也計算了高臺跳水運動員在內的平均速度，該速度為0，同學們想一想，運動員在這段時間內是否處于靜止狀態？

生：運動員并非處于靜止狀態.

師：顯然，運動員的運動狀態不是靜止狀態，用平均速度來描述運動員的運動狀態具有一定的局限性，它只能粗略地描述運動員的運動狀態，要想精確描述每個時刻的運動狀態，我們要用到瞬時速度.如果要求運動員在t=2s時的瞬時速度，大家有沒有好的想法？

（學生進行深入思考后，小組生生之間展開探討）

學生展開深入思考，但卻找不到好辦法來求取瞬時速度.

看到這種情況，筆者為學生播放了物理中測瞬時速度的視頻，問道：“大家思考一下，儀器測量瞬時速度的原理是什么？”

根據學過的知識，學生回答儀器是測量在Δt時間內滑過的距離Δs，運用計算得出答案.

師：這里測出的速度是瞬時速度嗎？

生：不是，是某個時間間隔內的平均速度.

師：我們很難測量真正的瞬時速度，如果測量千分之一、萬分之一秒，在更短時間間隔內如何使平均速度更加接近于瞬時速度？

生：平均時間間隔越小，越接近于瞬時速度.

師：正確.那么，我們要想測量t=2s時的瞬時速度，就要考察t=2s前后的速度，在這里，我們取任意一個時刻2+Δt，那么平均速度計算公式為.那么，我們看下運動員在［2+Δt，2］內的平均速度，在表1中顯示.

表1

師：同學們以小組為單位進行探究，能否發現其中的規律？

（學生小組進行計算研究，生生之間共同討論）

師：再看運動員在［2，2+Δt］內的平均速度，在表2中顯示.

表2

*項目基金：本文系江蘇省“十三·五”規劃課題《“多維互動對話”環境下高中數學課堂活動組織策略研究》的階段性研究成果（課題編號：C-c/2016/02/83）、江蘇省“十二·五”規劃課題《“多維對話”環境下高中數學課堂學習共同體構建研究（課題編號：C-c/2013/02/003）》的階段性研究成果之一.

［2，2.0 0 0 1］ -0.0 0 1 -1 3.1 0 0 4 9［2，2.0 0 0 0 1］ -0.0 0 0 1 -1 3.1 0 0 0 4 9［2，2.0 0 0 0 0 1］ -0.0 0 0 0 1 -1 3.1 0 0 0 0 4 9［2，2.0 0 0 0 0 0 1］ -0.0 0 0 0 0 1 -1 3.1 0 0 0 0 0 4 9［2，2.0 0 0 0 0 0 0 1］ -0.0 0 0 0 0 0 1 -1 3.1 0 0 0 0 0 0 4 9

同學們重復表格1的運算，發現同樣的規律.

師：大家對比下這兩個表格，能否找到其中的規律？（引導學生進行類比計算）

學生經過對比發現當Δt趨近于0時，不論在2的左邊還是右邊，平均速度趨近于-13.1.

師：大家探究了t=2s時的過程，接下來請分別計算下t=2.5s，t=3s這兩個時刻附近的平均速度.

學生進行分組合作、計算討論，在其中感受逼近思想的含義.

教學體會：在以往學習函數零點過程中，我們用“二分法”來逼近函數零點，在本次課中，師生運用平均速度逼近瞬時速度，這也體現了高中數學中無限逼近的思想方法.

二、探究新知，形成概念

在探究完上述知識后，筆者引導學生在“多維互動對話”活動中展開高效率、高質量教學.

師：通過上述分析，我們知道結論適用于高臺跳水運動員，那么它還適用于其他運動嗎？我們不妨將物體的運動變化量抽象成函數y=（fx），上述可以轉化為則是上節課我們學到的平均變化率，表達函數在某個區間上的趨勢.請大家求出y=x，y=x2，y=在0到1上的平均變化率.

師：請大家看一下這三個函數在［0，1］上的圖像，如圖1所示.根據圖像，我們可以發現這三個函數在0到1上的變化趨勢不同，要想知道某個物體在某時刻的運動狀態，我們只能通過瞬時速度進行求解.那么如何來精確描述函數變化呢？

生：瞬時變化率.縮短區間Δx來求取函數在某點的瞬時變化率.

圖1

師：由平均速度過渡到瞬時速度，大家能夠理解瞬時變化率.下面，我們來看下，當Δx縮短時，平均變化率如何變化.已知函數f（x）=x2，分別計算f（x）在區間上的平均變化率.

表3

同學們經過計算發現兩個區間端點接近時，即Δx趨近于0時，平均變化率逼近于2.通過問題遇到認知沖突，找到解決問題的辦法，在自主探究中來獲得新知識.

緊接著，筆者運用幾何畫板進行演示，如圖2所示.

圖2

師：我們將2記為f（x）=x2在x=1處的瞬間變化率，即.經過學習，我們掌握了從平均變化率到瞬時變化率過渡，得到了函數f（x）=x2在x=1處的瞬間變化率，那么，對于任意函數f（x）在x=x0處的瞬時變化率該怎樣表示？

（學生總結歸納，體悟數學思想）

學生總結歸納，由具體實際問題抽象得到數學問題，在潛移默化中體會特殊到一般的數學思想.

師：同學們做的非常棒，函數y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率是.我們稱它為函數y=f（x）在x=x0處的導數，記為y=f′（x0）或y′|x=x0.那么瞬時變化率和導數就是同一概念的兩個不同名稱.

教學體會：學生掌握導數的相關概念，通過知識遷移找出一般函數y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率.

三、概括提升，理解內涵

在掌握導數相關概念的基礎上，筆者引導學生對內容進行概括提升，問道：“f（x0），f′（x0），y′|x=x0分別表示什么意思？”引導他們找到三者之間存在的聯系.

生：f（x0）表示函數f（x）在x=x0處的函數值；f′（x0），y′|x=x0表示函數f（x）在x=x0處的導數.

師：回答正確，大家已經掌握導數的概念，我們來練習，請大家計算下第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說出它們的意義.?

教學體會：在熟悉定義的基礎上，學生通過練習進一步鞏固了導數的計算方法，加強了概念的理解.

四、梳理知識，提高訓練

在帶領學生回憶本節課知識后，筆者問道：“①我們為何要研究平均變化率和導數？②如何看待導數的形成過程？從中你體會感悟到怎樣的思想方法？③求導的依據是什么？如何來進行求導？”學生整理、總結本節課所學習的核心概念、基本技能，概況所蘊含的數學思想.緊接著，筆者要求學生完成以下兩道試題：“①求函數f（x）=-x2在x=-1處的導數；②結合教材來思考，回憶本節課所講重點知識，思考導數的幾何意義.”

在整節課中，筆者引導學生在課堂“多維互動”中從生活實例到具體函數，通過小組合作、學生思考、體驗交流等形式，借助類比的思想方法，從平均變化率到瞬時速度，再由平均變化率逼近瞬時速度變化率，最終推導得到某一點函數的導數.