“真、善、美”的數學探究教學實例研究與思考

☉江蘇省溧水高級中學 洪 亮

教師站在“育人”的高度落實具備“真、善、美”的探究教學能令學生在真切的體驗與感受、教師的真情與啟發中獲得更多的領悟，使學生在充分感受知識形成與數學之美的過程中展現出思維的靈活與智慧.

一、問題提出

根據每一個考點配以大量講題與解題訓練是目前很多高三數學教師在復習教學中采用的慣常手段，“講、練、測”的教學模式也因此形成，這一簡單而枯燥的教學模式往往會給學生與教師帶來壓抑與疲勞感，學生思維因此被“模式化”和“標準化”并在學習中失去了應有的靈活與創新，學生對數學學習產生畏懼、煩躁的心理情緒也就不難理解了.

只限于接受、記憶、模仿與練習的數學學習方式已經不能順應高中數學課程標準所提出的要求，新課程明確要求教師應積極倡導學生進行自主探究學習并使學生逐步提升探索、實踐與合作交流的能力，要求教師力爭將學生培養成能夠為社會肩負重擔的人才.

筆者以為，教師如果能夠站在“育人”的高度進行具備“真、善、美”的探究教學，一改唯高考論的落后觀點，學生的數學學習必然能夠呈現出令人欣喜的局面.

二、案例呈現

在某節復習課中，筆者指出函數y=lnx和y=ex互為反函數，其圖像關于直線y=x對稱，x=0和y=0分別為它們的漸近線時，有學生提問：“直線y=x是否為它們的漸近線呢？”筆者作出了這樣的回復：“問得很好，大家在課后研究一下是否能有合理的解釋，我們在下一課對這一問題進行具體的討論.”筆者在課后對學生的這一問題進行了認真的思考并發現，這個問題對于學生來說，其意義不小，以下是后續課堂活動討論的實況.

1.直奔主題，探究方法

問題1：如圖1，直線y=x為y=lnx的漸近線嗎？

圖1

師：誰能給出其合理解釋？

生1：由研究雙曲線的漸近線的方法可得，在x∈（0，+∞）上作任意一條與x軸垂直的直線，分別與y=x、y=lnx相交于點M、N，則|MN|=|x-lnx|.

研究|MN|的長度變化，令（fx）=x-lnx，只需研究（fx）的單調性.f′（x）=1-，當x∈（0，1）時，f（′x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f（′x）＞0.所以（fx）在（0，1）上遞減，在（0，+∞）上遞增，所以（fx）min=（f1）=1，所以|MN|≥1，直線y=x不是y=lnx的漸近線.

生2：我是這樣想的，根據圖1，設直線MN與x軸相交于點A，只需研究的值.如果該比值隨著自變量的增大而越發接近1但小于1，就是漸近線，因此，只要對的單調性進行研究就可以了.

生3：我有一法.

圖2

（全體學生都不禁直呼太聰明了）

師：方法1是運用類比思想進行解釋的，除此以外，上述三位同學的解釋都用到了數形結合這一重要的思想，思路也都很清晰，值得大家學習.

2.引申思考，擴大戰果

問題2：直線y=x是y=ex圖像的漸近線嗎？

生4：因y=ex和y=lnx互為反函數且都關于直線y=x對稱，根據上述討論可知，直線y=x不是y=ex圖像的漸近線.

問題3：直線y=ax+b會是y=lnx的漸近線嗎？

生5：設直線斜率是a，a＞0是明顯的，類比問題1中的方法3可知，直線y=ax+b不會是y=lnx的漸近線.

（1）如果將上式中的“x”換成“n”，可以得到哪些不等式呢？

（2）比較20182019和20192018大小.

師：請大家思考探究.

生6：根據其單調性，可在定義域內取相鄰的兩個整數有g（n）＞g（n+1），即

進一步變形可得nn+1＞（n+1）n.

生8：兩邊取倒數可得

師：如果取兩個不相鄰的正整數且e＜m＜n，又可得到什么結論呢？

師：太棒了，大家居然能從簡單的結論上變出這么多不等式，大家繼續你們的思考.

生10：直接套上述公式，當e＜m＜n時，mn＞nm，因此可知20182019＞20192018.

生11：該公式如果記不住怎么辦呢？

生12：倒著想，分別對20182019和20192018取自然對數，可得2019ln2018和2018ln2019，它們同時除以2018×2019可得，然后只要研究函數的單調性即可.

（全體學生驚嘆并鼓起掌來）

師：這位同學正是運用了從特殊到一般的數學思想方法才獲得了令大家驚嘆的解法.

3.歸納總結（略）

4.課后變式強化（略）

三、幾點思考

1.體現數學探究教學的“善”

（1）教師以情動人、以情育人并以朋友的身份和學生交流往往能夠令學生放下思想包袱，盡情敞開心扉并表達出自己的個性化想法.

（2）預設的問題應與學生的知識與思維水平相吻合.教師在設計探究問題時應做到“知己知彼”并將問題設計成層層鋪墊的導向性問題串，使學生能夠在適度的動機中展開分步探索，令各層面學生在春風化雨般的真情關愛中都能獲得思考與討論的機會.

2.體現數學探究教學的“真”

（1）真自主與真合作.學生在真切的體驗與感悟中才能真正獲得能力提升，因此，教師應保障學生思考與探索的機會與時間并將最原始、最火熱的思維過程體現出來.

（2）問題設計求真.教師在設計問題時應考慮問題的解法是否具有多樣性，問題是否能反映學生思維的多層次性.本文案例中的前三個問題對于鍛煉學生全面且多角度研究問題的能力是極有價值的，問題1中的三種解釋正是不同視角下所產生的結果，學生思維的靈活和機智也在這三種解釋中得到了具體的體現.問題4中得到的不等式則是全體學生共同參與、合作所產生的智慧結晶.不僅如此，問題4還將“特殊與一般”的數學思想方法進行了很好的滲透.

3.挖掘數學探究教學的“美”

數學包含了統一、和諧、簡潔、對稱、邏輯、嚴謹、奇異等多個方面的“美”，以美啟真往往能夠更好地調動學生的學習熱情與參與度，學生感知、欣賞、應用、創造美的過程不僅是對其情操的陶冶，更是對其學習興趣與思維能力的鍛煉與促進.比如，本文案例中問題1的解決就將數形結合的和諧統一美、解題中的類比與簡潔美體現得尤其明顯.問題4中所生成的眾多優美不等式則讓學生在結果生成的過程中很好地賞析了一回對稱美.問題4的解決又是數學邏輯與應用美的生動體現.從教學效果看，學生在感受數學之美的過程中也對所學內容領悟得更加透徹.H