基于核心素養下的高三數學復習

☉甘肅省白銀市第一中學 胡貴平

提高學生的數學核心素養，發展思維能力是高三數學復習應該關注的焦點，尤其針對經典例題的教學，引導學生把握數學內容的本質，感悟數學的思想，提高復習效率.

一、培養探究復習

“倡導探究性學習”是高中數學課程標準的基本理念之一，探究性試題在高考以能力立意已成為高考命題的指導思想，以探究性學習為命題背景的探究性試題，在數學高考中出現得越來越多.通過探究性學習，有效地提高學生的數學核心素養和創造性解決問題的能力.

案例（一）三次函數的對稱中心

例1（2013年全國卷Ⅱ·理10·文11）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是（ ）.

A.?x0∈R，f（x0）=0

B.函數y=f（x）的圖像是中心對稱圖形

C.若x0是f（x）的極小值點，則f（x）在區間（-∞，x0）上單調遞減

D.若x0是f（x）的極值點，則f′（x0）=0

解析：對于A選項，當x→+∞，x3→+∞，ax2+bx+c增長得慢，可以忽略，則f（x）→+∞；當x→-∞，x3→-∞，ax2+bx+c可以忽略，則f（x）→-∞，又函數是連續函數，根據零點存在定理，必?x0∈R，f（x0）=0，這就是極限思想的滲透，故A正確.

對于C選項，f′（x）=3x2+2ax+b.

（1）當Δ=4a2-12b≤0時，f′（x）≥0，故f（x）在R上單調遞增，此時不存在極值點.

當Δ=4a2-12b＞0時，f′（x）=0有兩解，不妨設為x1＜x2，f′（x），f（x）隨x的變化情況列表如下：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x1，+∞）f′（x）+0-0+f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

由表格可知，x2是極小值點，但是f（x）在區間（-∞，x2）上不具有單調性，故C不正確.

對于D選項，由極值點處的導數等于0知，D正確.

B選項是圖像變換，考查對稱中心，三次函數是否有對稱中心，如果有對稱中心，又該怎么求？課堂探究的一個過程：三次函數f（x）=ax3的圖像關于原點（0，0）對稱.

推論1：三次函數f（x）=ax3+cx的圖像關于原點（0，0）對稱.

推論2：三次函數f（x）=a（x-m）3+c（x-m）的圖像關于點（m，0）對稱.

推論3：三次函數f（x）=a（x-m）3+c（x-m）+n的圖像關于點（m，n）對稱，即關于點（m，f（m））對稱.

如果三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d能寫成f（x）=a（xm）3+p（x-m）+n的形式，由推論3就能得到三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d是中心對稱圖形，其對稱中心是（m，n），即關于點（m，f（m））對稱.

下面用待定系數法解決這個問題.

f（x）=a（x-m）3+c（x-m）+n=ax3-3amx2+（3am2+p）xam3+n-pm，

令ax3+bx2+cx+d=ax3-3amx2+（3am2+p）x-am3+n-pm.

所以三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖像關于點對稱，觀察三次函數的導數f′（x）=3ax2+2bx+c，其對稱軸恰好是，即對稱中心的橫坐標.其實，對于可導函數，若y=f（x）的圖像關于點A（m，n）對稱，則y=f′（x）的圖像關于直線x=m對稱.

答案：f（′x）=x2-2x+2，其對稱軸恰好是x=1，所以函數（fx）=x3-x2+2x-1的對稱中心是

二、立足糾錯復習

高三復習中，總有些知識點是很多學生容易出現錯誤的，犯錯誤的原因有些是學生對數學知識的理解有偏差，認識片面，有些是教師對教學的難點把握不準，重視不夠.糾錯是通過學生的切身體會，認識錯誤，總結經驗使知識重組再建，實現能力的提高，思維的拓展.同時也讓教師反思教學、優化教學.

案例（二）坐標系與參數方程

例2 （2015年全國卷Ⅱ·理·文22）在直角坐標系xOy中，曲線（t為參數，t≠0），其中0≤α＜π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ.

（1）求C2與C3交點的直角坐標；

（2）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值.

錯解：（1）曲線C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ.

錯解剖析：在直角坐標系中，兩曲線的交點的坐標就是兩曲線方程的公共解，然而在極坐標系中，求兩曲線交點的問題卻要復雜得多.如果ρ≥0，0≤θ＜2π，除極點O（0，θ）外，平面上任意一點P與其坐標（ρ，θ）之間成一一對應.如果ρ∈R，θ∈R，平面上任意一點P與其坐標（ρ，θ）之間不是一一對應，極點的坐標有無窮多個（0，θ），θ可以為任意實數.非極點的坐標也有無窮多個，若（ρ，θ）是一個點P的坐標，則（（-1）kρ，θ+kπ）也是點P的坐標.在極坐標系中，對于以方程f（ρ，θ）=0所表示的曲線上的一點，其所有極坐標有時并不都滿足此方程，而可能只有一部分極坐標滿足此方程.反之，對于一點P，它的某個極坐標（ρ0，θ0），如果不滿足方程f（ρ，θ）=0，還不足以說明P點不在以方程f（ρ，θ）=0所表示的曲線上，只有它的所有極坐標（（-1）kρ，θ+kπ）都不滿足方程f（ρ，θ）=0時，才能說明P點不在以方程f（ρ，θ）=0所表示的曲線上.例如，如圖1，圓ρ=3與直線θ=的交點，圓與直線交點的極坐標

圖1

在極坐標系中，方程f（（-1）kρ，θ+kπ）=0與方程f（ρ，θ）=0所表示的曲線完全一樣.那么在極坐標系中，如何求兩曲線C1：f（ρ，θ）=0與C2：g（ρ，θ）=0交點呢？首先令ρ=0，若一元方程f（0，θ）=0與g（0，θ）=0同時有解（不一定相同），則極點就是兩曲線的一個交點，否則，極點不是它們的交點，再由（k為整數）或（k為整數）進行判定交點.

解法1：（1）曲線C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ，令ρ=0，顯然兩方程均有解，極點是它們的一個交點.

所以C2與C3的交點的極坐標為（0，0）和

故C2與C3的交點的直角坐標為（0，0）和

解法2：（1）曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0，曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-2x=0，聯立方程

所以C2與C3的交點的直角坐標為（0，0）和

練習：求兩圓ρ=sinθ與ρ=cosθ的交點的極坐標.

圖2