挖掘試題價值，提升復習水平
——基于試題研究的高三復習策略談

☉江蘇省海安高級中學 湯連峰

著名數學家喬治·波利亞說過：“掌握數學就意味著善于解題.”我們知道，數學解題是貫穿高三復習中的一條主線，在高中復習中占有非常大的比例；同時，檢測高三復習的成果也是通過數學解題來實現.如何提高學生的解題能力一直是高三復習中的一個重要課題.作為教師，每天都和不同的試題打交道，試題可謂是師生手頭最豐富的備考資源，如何用好手頭試題，充分挖掘試題的利用價值，是全面提升備考復習水平的關鍵所在.

一、一題多思，在聯系中加深概念理解

高三復習是對數學基礎知識和基本技能的復習，掌握基礎知識是復習的起點，沒有知識就談不上能力，更談不上創新，“無知無能”.要落實好數學中基本概念、性質、定理等基礎知識的復習，做到充分理解與掌握，一清二楚，不存在盲點，應用準確.要求復習時形成知識體系，知識間融會貫通了，理解才會更深入和透徹.具體表現為審題時能充分理解題目內涵，一題多思，準確切入.

例1 （2018年江蘇卷13）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

分析：試題是以三角形為載體、解三角形為背景的代數式的最值問題.解三角形是融合“數”“形”于一體，是代數、平面幾何、三角函數、平面向量、平面解析幾何等數學知識的交匯點，解決此類問題主要是根據三角形這一直觀圖形，并以此為切入點尋求已知與未知之間的內在聯系，結合相關的數學知識與數學方法，探究解題的思路和方法.

思路1：（解三角形法思維）從三角形的面積切入，根據三角形的面積可a·BD·sin60°+c·BD·sin60°，整理可得ac=a+c，接下來再探求4a+c的最小值.

從余弦定理切入，根據余弦定理可得AD2=c2+1-2×c×1×cos60°=c2+1-c，CD2=a2+1-2×a×1×cos60°=a2+1-a，而根據角平分線定理可得，可得a2c2+c2-ac2=a2c2+a2-a2c，整理可得ac=a+c，接下來再探求4a+c的最小值.

思路2：（平面幾何法思維）從張角定理切入，根據張角定理有，可得=1，整理可得ac=a+c，接下來再探求4a+c的最小值.

從相似比切入，過點D作DE∥BC交AB于點E，由于∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，可知∠EDB=∠DBC=∠ABD=60°，則△BDE為等邊三角形，即EB=ED=BD=1，而由DE∥BC，可得=1，整理可得ac=a+c，接下來再探求4a+c的最小值.

思路3：（平面向量法思維）從平面向量的線性運算

點評：一題多思，可以思考問題中的相關概念，也可以思考問題中的切入角度或是其他的問題.一題多思，為解決問題提供思維角度，從不同思維角度切入，選取自己更熟悉、更熟練的方法與知識，結合題目來分析與求解，為正確解決提供必要的條件.

二、一題多解，在比較中優化解題方法

一題多解能有效構建知識網絡、加強知識間的相互溝通、打破思維定勢、培養思維的靈活性，培養學生從多角度、多途徑、多知識尋求解決問題的方法，開拓解題思路，進而通過多種解法的對比與分析來選取最佳解法，總結解題規律，提升解題能力，增強思維品質，進而提升數學核心素養.

例2（2018年全國Ⅰ卷文11）已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A（1，a），B（2，b），且cos2α=，則|a-b|=（ ）.

分析：三角函數的求值問題一直是高考中的常見題型，本題通過精妙的設計，把三角函數的定義、二倍角公式、半角公式、萬能公式等三角函數的相關公式加以交匯，并結合其他相關知識加以融合與應用.該題在解法上具有多樣性，解題切入口也不唯一，這樣更能很好地考查學生思維的靈活性、多樣性、拓展性.

解法1：（三角函數定義法1）根據三角函數定義，對照點A（1，a），可得，結合二倍角公式可得cos2α=cos2α-sin2α=對照點B（2，b），可得，結合二倍角公式可得cos2α=cos2α-sin2α=，解得b2=又由題可知ab＞0，不妨取，所以

解法6：（直線斜率公式+萬能公式法2）根據三角函數定義有，根據萬能公式可得，根據直線的斜率公式可得k=，所以

解法7：（直線斜率公式+萬能公式法3）根據直線的斜率公式可得，根據萬能公式可得，解得（b-a）2=，即|a-

點評：一道好的習題之所以能引起大家強烈的共鳴與反響，不是因為其獨特的解題技巧，而是其中所蘊含的豐富的數學思想和思維方法.而一些高考真題就能很好地達到此目的.在日常教學過程中，教師精心選擇此類具有代表性的“一題多解”題目作為習題，通過一題多解等訓練，可以極大地增強學生的數學核心素養.

三、一題多探，在研究中深化思維角度

針對高三復習中的試題，大部分是以往的高考題或模擬題，這些精選試題不少都凝結了命題專家的智慧和心血，有的背景深刻，有的內涵豐富，有的立意高遠，有的創意新穎等.解題時不能停留在表面，淺嘗輒止，要進一步探究問題深層次的內涵，培養深入思考問題的習慣，提升探究問題的意識，培育核心素養.

例3 （2018年上海卷12）已知實數x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，則最大值為______.

分析：充分體會題目條件，以及對應條件所代表的幾何意義，通過不同角度的轉化，以及不同知識點的滲透與交匯來達到綜合與應用的目的，進而利用幾何法與不等式的基本性質法，分別從“形”的角度與“數”的角度來進行解決與處理.

探究1：本題如何從題目條件切入？

探究2：本題有哪些基本的數學模型？

探究3：本題有哪些不同的解題方法？

探究4：本題中的一些條件或結論的改變可否進行變式？

探究5：本題能否推廣到一般性的結論？

點評：通過一道多探，可以提升解題的深度與廣度，掌握豐富的數學方法，學習樸素的數學原理，完成火熱的數學思考，使我們領悟解題方法，領悟解題思想，領悟問題的深層次聯系，不停留表面，不拘泥題海，使同學們的解題能力和思維品質向更深層次發展和升華.

四、一題多變，在辨析中夯實基礎知識

一題多變是在有效思考、探究的基礎上，不妨從一個熟悉的基本問題著手，不斷改變題設中的某些關鍵條件或結論，將相近的問題串起來，給學生形成強烈的認知沖突，強化學生學習基礎，提升學習效率，培養學生細心謹慎的良好學習習慣，培養創新意識與能力都大有幫助.

例4（2018年全國Ⅱ卷文10）若f（x）=cosx-sinx在［0，a］上是減函數，則a的最大值是（ ）.

分析：結合三角恒等變換轉化為相應的三角函數問題，結合三角函數的圖像與性質，通過三角函數單調性來確定參數的取值范圍.也可以借助導數法或選項排除法來處理此題.而通過該題深入分析，拓展思維，改變條件，可以得到意想不到的效果.

變式1：若f（x）=sinx-cosx在［0，a］上是增函數，則a的最大值是（ ）.

（答案：C）

變式2：（2018年全國Ⅱ卷理10）若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］上是減函數，則a的最大值是（ ）.

（答案：A）

變式3：若f（x）=sinx-cosx在［-a，a］上是增函數，則a的最大值是（ ）.

（答案：A）

點評：看似簡單的一道三角函數問題，其實認真分析，仔細探究，可以從不同角度展開來解決，也可以通過不同方式加以拓展深入，得到變式，真正達到“認真解答一個題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起高”的目的.

喬治·波利亞對“善于解題”的進一步闡述：“善于解題不完全在于解題的多少，還在于解題前的分析、探索和解題后的反思.”“工欲善其事，必先利其器”，高三復習千頭萬緒，以試題為抓手，挖掘其潛在價值，促進科學有效備考，無疑是值得嘗試、行之有效的一種方法.H