培養學生轉化能力的案例探析

☉江蘇省揚中高級中學 丁 建

方法、途徑眾多的數學思想在培養學生數學技能與思維品質上均能發揮重要的作用，著眼于學生最近發展區，巧設認知階梯，并引導學生進行數學知識轉化方法的探究，能使學生在類比、數形、表征、辯證等過程中理解轉化的核心、精髓與價值，并在此基礎上掌握與運用轉化的策略以提升數學能力.

一、類比轉化

魯班因齒形物割傷自己而類比聯想鋸子的發明，既包含了屬性相近的內容，又囊括了本質上的差異.教師應從此類事例中掌握類比轉化的教學本質并精心設計問題情境，引導學生在知識生長點上進行觀察、分析、比較并最終掌握類比對象本質的方法，使學生最終在思維碰撞的觀察、聯想與類比中獲得新的突破.

案例1 幾何概型的計算公式.

問題：如圖1，線段AB長3m，P1，P2，P3，P4，P5五點將其分成了六等份，則這五個點中取任意一點到線段AB的兩個端點的距離都不小于1m的概率是多少？

圖1

（1）本題中的基本事件與總數分別是什么？（取點，總數為5）

（2）假如將“取任意一點到線段AB的兩個端點的距離都不小于1m”記作事件A，那么滿足事件A的點共有幾個？（3個，分別為P2，P3，P4）

（4）這屬于哪種概率模型？有何特點？（古典概型，事件中每個基本事件發生的可能性相等及所有基本事件的數量有限是古典模型的兩個特點）

圖2

（5）將問題進行變化：如圖2，線段AB長3m，則在線段AB上任取一點到線段AB的兩個端點的距離都不小于1m的概率是多少？

①此處的基本事件與總數又分別如何呢？（取點；線段AB上所有的點）

②各基本事件發生的可能性相等嗎？（相等）

③這屬于古典概型嗎？和古典概型相比可有異同呢？（不屬于；各基本事件發生的可能性相等是兩者的共同點；不同點是所有基本事件的數量無限）

④假如將“任取一點到AB兩個端點的距離都不小于1m”記作事件B，那么滿足事件B的點有多少呢？（無數）

⑤在知道基本事件與滿足事件B的總數的情況下仍然可以采取古典概型公式進行計算嗎？結果應該是多少呢？

⑥“基本事件的總數”和“事件B的個數”分別與線段AB上哪部分的點對應呢？（如圖3，將線段AB分成三等份并將中間兩點記作C、D，則基本事件的總數為線段AB上的點；滿足事件B的總數為線段CD上的點）

圖3

⑦由“無數”轉化成“有限”又該怎樣變化呢？（假設一份“無數個點”組成每一等份的線段，則基本事件的總數為3份“無數個點”；滿足事件B的總數為1份“無數個點”，則

⑧對于此處的1份“無數個點”和3份“無數個點”又該怎樣進行抽象概括呢？（1份“無數個點”構成1份“線段的長度”；3份“無數個點”構成3份“線段的長度”）

⑨此處的“線段”是什么量呢？（幾何量）

（6）概括（定義、計算公式等略）.

引導學生在觀察、聯想、類比中體驗轉化的核心環節、轉化的方法，以及在何處轉化是本案例中的關鍵.

二、數形轉化

突破思維定式并結合形象思維與邏輯思維能使學習者在研究對象的觀察與挖掘中進行數與形的聯想與轉化，因此，教師應善于引導學生進行數形轉化并因此鍛煉學生觀察的敏銳性與思維的靈活性.

案例2已知a＞0且a≠1，（fx）=x2-ax，當x∈（-1，1）時均有（fx）＜，求實數a的取值范圍.

引導學生探究以下問題：

（1）將（fx）=x2-ax代入條件“（fx）＜”可以得到什么？（不 等 式x2-ax＜）

（2）直接解該不等式可行嗎？（有難度）

（3）直接解不等式屬于“數”的范疇，那么，從“形”的角度可否解決呢？（很難找到和它對應的圖形）

（4）能不能將這一“組合式”拆分成我們熟悉的模型呢？

（5）能否從函數的角度對“f1（x）＜f2（x）”進行表征？

生：根據函數圖像和不等式的關系可得：在區間I上，f（x）＜g（x）?函數f（x）的圖像在函數g（x）的下方，則問題轉化成：a為何值時，在區間（-1，1）上的圖像均在f2（x）=ax的圖像下方？具體如圖4.

圖4

引導學生在逐個問題的思考中領略數形轉化的方法與精髓，不僅激發了學生的積極態度，也使學生在轉化的依據、條件、緣由上進行了更多的思考.

三、表征轉化

對于同一個數學對象進行不同的數學表征直至尋得有用的信息往往能夠幫助學生有效解題，學會運用不同的數學知識與方法解決同一問題往往也會在不同的表征中實現，因此，教師應善于引導學生在重構問題的表征中獲得等價的問題以提升學生思維的靈活性.

案例3 不等式ax2+bx-10＜0的解集是{x|-2＜x＜5}，求a、b的值.

分析：學生往往比較習慣于正向思維，因此對于這種需要討論參數a、b的二次不等式ax2+bx-10＜0的求解往往會感覺煩瑣，但學生如果能夠聯想方程、函數、不等式之間的內在聯系并從方程的角度對這一問題進行新的表征，該問題很快也就轉化成了“方程ax2+bx-10=0的解分別為-2，5”，結合方程的定義或根與系數的關系求得a、b的值也就不難了.

解：由不等式解集的幾何含義可知，不等式ax2+bx-10＜0的解集為{x|-2＜x＜5}與方程ax2+bx-10=0的解為-2，5是等價的.由方程根的定義或根與系數的關系可得解得a=1，b=-3.

引導學生運用“方程的根”對“不等式的解集”進行表征是此題化難為簡的關鍵，學生感悟到視覺變化的同時也實現了解題的優化.

四、辯證轉化

教師在學生順向思維受阻之時應及時引導學生轉換思維方式并勇于打破常規，引導學生在問題的對立面進行思考并獲得解題的簡化.

案例4 已知三條拋物線y1=x2+2ax+a2-a+3，y2=2x2-（4a-2）x+2a2-a，y3=x2-（2a+1）x+a2+2中至少有一條和x軸相交，求實數a的取值范圍.

分析：與x軸相交的拋物線不止一條這一條件包含了7種不同的情況，如果從問題的正面著手考慮，這7種不同情況的分類討論就是相當繁雜的，但是如果從反面考慮三條拋物線不與x軸相交，問題則會變得簡單許多.

解：設三條拋物線與x軸不相交，則相應判別式均小

引導學生在問題的對立面進行分析與思考能使學生感受到辯證思維答題的巧妙，解題過程變得別開生面的同時也將解題變得更加簡單.

數學中的轉化思想是一種特別有價值的意識與創新，教師應精心設計啟發性的情境并使學生在積極的探索中展開觀察、分析、聯想與思考，使學生在很多繁難問題的探究中學會類比、數形結合、多元表征與辯證并因此逐漸養成善于運用數學思想的意識與習慣，長此以往，學生的思維與能力必然會獲得長足的發展.H