對一道三次函數(shù)問題引發(fā)的多解探究

☉內(nèi)蒙古自治區(qū)海拉爾第二中學(xué) 劉 天

☉北京師范大學(xué)鄂爾多斯附屬學(xué)校高中部 岳金燕

三次函數(shù)圖像的對稱中心問題，一直是熱點問題之一.同一數(shù)學(xué)問題，可以從多方位、多角度、多層次入手，就會得到多種解題思路和方法，從而提高對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，同時也提升數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)優(yōu)良的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例題 已知直線l與曲線f（x）=x3-6x2+13x-9依次交于點A，B，C，且|AB|=|BC|=，則直線l的方程為______.

分析：解決本題的關(guān)鍵是通過定義法或?qū)?shù)法確定三次函數(shù)的圖像的對稱中心坐標(biāo)，再利用題目條件，通過定義法思維、參數(shù)方程、三次方程或數(shù)形結(jié)合等思維方法來解決過對稱中心且滿足條件的直線方程問題.而如何快捷地從對稱中心入手與直線方程聯(lián)系起來，這也是解決本題的一大難點，以及思維發(fā)散性的體現(xiàn).結(jié)合條件確定點B為三次函數(shù)的圖像的對稱中心，設(shè)出B（m，n），結(jié)合定義建立關(guān)系式，對比系數(shù)確定參數(shù)m，n的值，即得點B的坐標(biāo)，進而設(shè)出直線l的方程為y-1=k（x-2），代入曲線方程確定其解的問題，進而確定點A的坐標(biāo)，利用|AB|=|BC|=建立關(guān)系式來求解參數(shù)k的值，進而得以求解直線l的方程.

設(shè)B（m，n），則有（fx）+（f2m-x）=2n恒成立，即x3-6x2+13x-9+（2m-x）3-6（2m-x）2+13（2m-x）-9=2n，展開整理可得（6m-12）x2+（24m-12m2）x+（8m3-24m2+26m-18）=2n.

要使得等式對任意x恒成立，

設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，代入（fx）=x3-6x2+13x-9，整理可得x3=6x2+（k-13）x+10-2k.

而x3-8=6x2+（k-13）x+2-2k，則（x-2）（x2+2x+4）=（x-2）（6x+k-1），即（x-2）（x2-4x+5-k）=0，解得x=2或x=2±

那么直線l的方程為y=2x-3.

故填：y=2x-3.

通過對曲線（fx）=x3-6x2+13x-9進行兩次求導(dǎo)，并利用f（″x）=0得到x的值，代入曲線得到對應(yīng)y的值，此坐標(biāo)（2，1）即為曲線（fx）=x3-6x2+13x-9的對稱中心，進而得到對稱中心為B（2，1），進而設(shè)出直線l的參數(shù)方程，代入曲線方程，求得tanθ的值，即為直線l的斜率k，利用直線的點斜式方程求解即可.

解法2：對于曲線（fx）=x3-6x2+13x-9，則有f′（x）=3x2-12x+13，可得f（″x）=6x-12.

令f（″x）=0，得x=2，代入（fx）=x3-6x2+13x-9，得（fx）=1，則曲線（fx）=x3-6x2+13x-9的對稱中心為（2，1）.

那么直線l的方程為y-1=2（x-2），即y=2x-3.

故填：y=2x-3.

通過對曲線（fx）=x3-6x2+13x-9進行兩次求導(dǎo)，并利用f（″x）=0得到x的值，代入曲線得到對應(yīng)y的值，因此點（2，1）即為曲線（fx）=x3-6x2+13x-9的對稱中心，進而得到對稱中心為B（2，1），設(shè)出三點對應(yīng)的橫坐標(biāo)，得到對應(yīng)的三次方程，進而確定直線l的方程，結(jié)合|AB|=|BC|=，建立相應(yīng)的方程求解參數(shù)值即可得到直線l的方程.

解法3：對于曲線（fx）=x3-6x2+13x-9，則有f′（x）=3x2-12x+13，可得f（″x）=6x-12.

令f（″x）=0，得x=2，代入（fx）=x3-6x2+13x-9，得（fx）=1，則曲線（fx）=x3-6x2+13x-9的對稱中心為（2，1）.

設(shè)A，B，C三點的橫坐標(biāo)依次為2-m，2，2+m（m＞0），則其是方程x3-6x2+ax+b=0的三解，所以a=12-m2，b=2m2-8，即直線l的方程為y=（1+m2）x-2m2-1.

那么直線l的方程為y=2x-3.

故填：y=2x-3.

通過對曲線f（x）=x3-6x2+13x-9進行兩次求導(dǎo)，并利用f″（x）=0得到x的值，代入曲線得到對應(yīng)y的值，因此點（2，1）即為曲線f（x）=x3-6x2+13x-9的對稱中心，進而得到對稱中心為B（2，1），結(jié)合坐標(biāo)平移變換得到坐標(biāo)原點位于B時所對應(yīng)的函數(shù)g（x），通過數(shù)形確定點A的坐標(biāo)，進而求解此時的直線方程，再回歸坐標(biāo)平移變換前的點的情況求解直線l的方程即可.

解法4：對于曲線f（x）=x3-6x2+13x-9，則有f′（x）=3x2-12x+13，可得f″（x）=6x-12.

令f″（x）=0，得x=2，代入f（x）=x3-6x2+13x-9，得f（x）=1，則曲線f（x）=x3-6x2+13x-9的對稱中心為（2，1）.

設(shè)函數(shù)g（x）=（fx+2）-1=x3+x，而A（1，2）滿足|OA|=，如圖1所示，可得直線OA的方程為y=2x，故直線l的方程為y-1=2（x-2），即y=2x-3.

故填：y=2x-3.

圖1

總評：以上解法中，通過定義法與導(dǎo)數(shù)法來確定三次函數(shù)的圖像的對稱中心，還可以利用平面向量的平移變換法，以及特殊值法來確定三次函數(shù)的圖像的對稱中心.其實，任何一個三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖像都有對稱中心，其對稱中心為在一些具體問題的過解過程中，特別是選擇題或填空題，經(jīng)常可以直接利用這個結(jié)論來確定其對稱中心.如果已經(jīng)攻克這個三次函數(shù)的圖像的對稱中心，那么剩下就是具體如何確定過對稱中心且與距離有關(guān)的直線方程問題，可以通過以上定義法、參數(shù)方程法、三次方程法及數(shù)形結(jié)合法等來處理.特別是數(shù)形結(jié)合法處理選擇題或填空題中，經(jīng)常以巧取勝，直觀但不具有太強的邏輯性.

當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.通過典型實例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數(shù)學(xué)知識的掌握更加熟練，同時思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學(xué)習(xí)的主動性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識水平和思維能力.H