對一道三次函數問題引發的多解探究

☉內蒙古自治區海拉爾第二中學 劉 天

☉北京師范大學鄂爾多斯附屬學校高中部 岳金燕

三次函數圖像的對稱中心問題，一直是熱點問題之一.同一數學問題，可以從多方位、多角度、多層次入手，就會得到多種解題思路和方法，從而提高對數學知識的理解和掌握，同時也提升數學解題能力，培養優良的數學素養.

例題 已知直線l與曲線f（x）=x3-6x2+13x-9依次交于點A，B，C，且|AB|=|BC|=，則直線l的方程為______.

分析：解決本題的關鍵是通過定義法或導數法確定三次函數的圖像的對稱中心坐標，再利用題目條件，通過定義法思維、參數方程、三次方程或數形結合等思維方法來解決過對稱中心且滿足條件的直線方程問題.而如何快捷地從對稱中心入手與直線方程聯系起來，這也是解決本題的一大難點，以及思維發散性的體現.結合條件確定點B為三次函數的圖像的對稱中心，設出B（m，n），結合定義建立關系式，對比系數確定參數m，n的值，即得點B的坐標，進而設出直線l的方程為y-1=k（x-2），代入曲線方程確定其解的問題，進而確定點A的坐標，利用|AB|=|BC|=建立關系式來求解參數k的值，進而得以求解直線l的方程.

設B（m，n），則有（fx）+（f2m-x）=2n恒成立，即x3-6x2+13x-9+（2m-x）3-6（2m-x）2+13（2m-x）-9=2n，展開整理可得（6m-12）x2+（24m-12m2）x+（8m3-24m2+26m-18）=2n.

要使得等式對任意x恒成立，

設直線l的方程為y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，代入（fx）=x3-6x2+13x-9，整理可得x3=6x2+（k-13）x+10-2k.

而x3-8=6x2+（k-13）x+2-2k，則（x-2）（x2+2x+4）=（x-2）（6x+k-1），即（x-2）（x2-4x+5-k）=0，解得x=2或x=2±

那么直線l的方程為y=2x-3.

故填：y=2x-3.

通過對曲線（fx）=x3-6x2+13x-9進行兩次求導，并利用f（″x）=0得到x的值，代入曲線得到對應y的值，此坐標（2，1）即為曲線（fx）=x3-6x2+13x-9的對稱中心，進而得到對稱中心為B（2，1），進而設出直線l的參數方程，代入曲線方程，求得tanθ的值，即為直線l的斜率k，利用直線的點斜式方程求解即可.

解法2：對于曲線（fx）=x3-6x2+13x-9，則有f′（x）=3x2-12x+13，可得f（″x）=6x-12.

令f（″x）=0，得x=2，代入（fx）=x3-6x2+13x-9，得（fx）=1，則曲線（fx）=x3-6x2+13x-9的對稱中心為（2，1）.

那么直線l的方程為y-1=2（x-2），即y=2x-3.

故填：y=2x-3.

通過對曲線（fx）=x3-6x2+13x-9進行兩次求導，并利用f（″x）=0得到x的值，代入曲線得到對應y的值，因此點（2，1）即為曲線（fx）=x3-6x2+13x-9的對稱中心，進而得到對稱中心為B（2，1），設出三點對應的橫坐標，得到對應的三次方程，進而確定直線l的方程，結合|AB|=|BC|=，建立相應的方程求解參數值即可得到直線l的方程.

解法3：對于曲線（fx）=x3-6x2+13x-9，則有f′（x）=3x2-12x+13，可得f（″x）=6x-12.

令f（″x）=0，得x=2，代入（fx）=x3-6x2+13x-9，得（fx）=1，則曲線（fx）=x3-6x2+13x-9的對稱中心為（2，1）.

設A，B，C三點的橫坐標依次為2-m，2，2+m（m＞0），則其是方程x3-6x2+ax+b=0的三解，所以a=12-m2，b=2m2-8，即直線l的方程為y=（1+m2）x-2m2-1.

那么直線l的方程為y=2x-3.

故填：y=2x-3.

通過對曲線f（x）=x3-6x2+13x-9進行兩次求導，并利用f″（x）=0得到x的值，代入曲線得到對應y的值，因此點（2，1）即為曲線f（x）=x3-6x2+13x-9的對稱中心，進而得到對稱中心為B（2，1），結合坐標平移變換得到坐標原點位于B時所對應的函數g（x），通過數形確定點A的坐標，進而求解此時的直線方程，再回歸坐標平移變換前的點的情況求解直線l的方程即可.

解法4：對于曲線f（x）=x3-6x2+13x-9，則有f′（x）=3x2-12x+13，可得f″（x）=6x-12.

令f″（x）=0，得x=2，代入f（x）=x3-6x2+13x-9，得f（x）=1，則曲線f（x）=x3-6x2+13x-9的對稱中心為（2，1）.

設函數g（x）=（fx+2）-1=x3+x，而A（1，2）滿足|OA|=，如圖1所示，可得直線OA的方程為y=2x，故直線l的方程為y-1=2（x-2），即y=2x-3.

故填：y=2x-3.

圖1

總評：以上解法中，通過定義法與導數法來確定三次函數的圖像的對稱中心，還可以利用平面向量的平移變換法，以及特殊值法來確定三次函數的圖像的對稱中心.其實，任何一個三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖像都有對稱中心，其對稱中心為在一些具體問題的過解過程中，特別是選擇題或填空題，經常可以直接利用這個結論來確定其對稱中心.如果已經攻克這個三次函數的圖像的對稱中心，那么剩下就是具體如何確定過對稱中心且與距離有關的直線方程問題，可以通過以上定義法、參數方程法、三次方程法及數形結合法等來處理.特別是數形結合法處理選擇題或填空題中，經常以巧取勝，直觀但不具有太強的邏輯性.

當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.通過典型實例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數學知識的掌握更加熟練，同時思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養發散思維能力，有助于激發我們學習的主動性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識水平和思維能力.H