快速掌握方法 巧妙解選擇題

☉陜西省西安市西光中學(xué) 馮有濤

高考數(shù)學(xué)中，選擇題幾乎占據(jù)了數(shù)學(xué)試卷的近“半壁江山”，是拉開考生分?jǐn)?shù)距離的一道屏障.如果能在選擇題上快速正確破解，既達(dá)到盡量不丟分，又能節(jié)約時(shí)間，是我們解決選擇題的目標(biāo)所在.下面筆者結(jié)合高考真題，就快速破解選擇題的比較常見技巧方法加以實(shí)例剖析.

一、直接法

直接法破解選擇題是最常見的一種方法，其是直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)推理和運(yùn)算得出結(jié)論，進(jìn)而作出相應(yīng)的選擇.直接法一般用來(lái)破解涉及概念、性質(zhì)、定理、法則的辨析等問題.

例1（2017年全國(guó)卷Ⅲ理9）等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為（ ）.

A.-24 B.-3 C.3 D.8

分析：設(shè)出等差數(shù)列{an}的公差為d，直接根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解公差d的值，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可.

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有a2a6=a32，即（a1+d）（a1+5d）=（a1+2d）2.

又a1=1，所以d2+2d=0，又d≠0，解得d=-2，

點(diǎn)評(píng)：直接巧妙利用等差（等比）數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)來(lái)解題，方法簡(jiǎn)單，思路快捷，可以省去一些不必要的計(jì)算.利用直接法解答選擇題時(shí)，要盡可能地優(yōu)化思路，力爭(zhēng)小題不大做.

二、特例法

特例法是解決選擇題時(shí)一種非常有效的特殊方法，其主要是結(jié)合題目條件，通過(guò)特殊值（或特殊圖形、特殊位置、特殊模型）代替題設(shè)中的普遍條件，得出特殊結(jié)論，再通過(guò)適當(dāng)?shù)臋z測(cè)來(lái)作出判斷.在涉及一些確定性的結(jié)論問題中，常采用特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等來(lái)特殊處理.使用特例法往往能簡(jiǎn)縮思維過(guò)程，降低答題難度，從而迅速得解.

例2 （2017年山東卷理7）若a＞b＞0，且ab=1，則下列不等式成立的是（ ）.

分析：涉及不等式的成立問題，可以利用條件中特殊值的選取，加以合適的驗(yàn)證，從特殊到一般，進(jìn)而確定相應(yīng)的關(guān)系式的大小問題.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)特殊值的選取可以比較方便快捷地處理此類問題，當(dāng)然也可以根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行直接分析與判斷.在解決函數(shù)中的大小比較問題時(shí)，往往優(yōu)先考慮特值法、排除法等，操作比較簡(jiǎn)單，且容易判斷.通過(guò)特殊值的選取來(lái)解決往往比采用相關(guān)知識(shí)的概念、定理、性質(zhì)、公式等來(lái)處理更顯得簡(jiǎn)單易操作.

三、篩選法

篩選法是根據(jù)題設(shè)條件入手，運(yùn)用概念、性質(zhì)、定理、法則或公式等的推演，逐步剔除干擾項(xiàng)，從而得出正確的判斷.此類方法一般比較適合用于定性型或不易直接求解的選擇題.

A.f（x）的一個(gè)周期為-2π

分析：根據(jù)三角函數(shù)的解析式，通過(guò)最小正周期、三角函數(shù)值的求解以及三角函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)篩選與確定對(duì)應(yīng)的結(jié)論的真假.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題采用代入分析法，從選擇支入手，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)條件不斷篩選不滿足條件的選項(xiàng)，最后確定正確的選項(xiàng)，得到正確的答案.

四、圖像法

在解答有關(guān)選擇題的過(guò)程中，經(jīng)常可以根據(jù)已知條件作出對(duì)應(yīng)的曲線或有關(guān)圖形或草圖，借助幾何圖形的直觀性來(lái)作出正確的判斷，得出結(jié)論.由于選擇題不要求寫出解題的過(guò)程，使得圖像法可以巧妙解題，提高解題的效率.

圖1

綜上分析可得-2≤a≤2，故選A.

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是抓住函數(shù)的圖像與性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題.特別地，涉及方程、不等式等問題，經(jīng)常可以采用轉(zhuǎn)化法，利用函數(shù)來(lái)處理，結(jié)合方程與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系作出相應(yīng)的圖像，數(shù)形結(jié)合達(dá)到求解的目的.而涉及線性規(guī)劃問題，也多采用數(shù)形結(jié)合思維，利用圖像法來(lái)處理.

五、極限法

極限思維是一種重要的數(shù)學(xué)思想，靈活地借助極限思想，結(jié)合取極端值、極端點(diǎn)、極端位置等，避開抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，簡(jiǎn)單解題過(guò)程，優(yōu)化解題效益，起到事半功倍的效果.

例5 （2015年浙江卷理8）如圖2，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（ ）.

A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α

分析：直接通過(guò)題目條件判斷相應(yīng)兩角之間的大小關(guān)系難度比較大，而通過(guò)極限法，結(jié)合翻折角的變化帶動(dòng)點(diǎn)的變化來(lái)分析，可以很快確定答案.

解：取極限思維：當(dāng)沿直線CD翻折→180°，此時(shí)α→0°，排除選項(xiàng)A、C；

當(dāng)沿直線CD翻折→0°，此時(shí)α→180°，排除選項(xiàng)D.故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題采用極限法，從翻折的特殊位置入手，根據(jù)特殊位置對(duì)應(yīng)的角來(lái)排除與應(yīng)用，解答簡(jiǎn)單快捷.

解答選擇題要真正做到“小題小做”，應(yīng)該充分挖掘不同題目的“個(gè)性”，尋求最適合的方法，快捷地作出正確的判斷，提高解題速度，為后續(xù)解題節(jié)省時(shí)間.H

圖2