利用算法巧解多種交匯題型

☉山東省青島西海岸新區(qū)第一高級(jí)中學(xué) 趙洪嘉

交匯整合在算法問(wèn)題中有較強(qiáng)的體現(xiàn)與滲透，往往將其他相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)融合其中，設(shè)計(jì)背景新穎，能力要求廣泛，有效地考查了同學(xué)們靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的能力，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的原則.

一、算法與函數(shù)的交匯

算法與函數(shù)交匯主要是以算法的流程圖為背景來(lái)考查函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)相應(yīng)的流程圖轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題（特別是分段函數(shù)），利用函數(shù)的概念、圖像或性質(zhì)等來(lái)解決.

好題1 給定一個(gè)算法的流程圖，如圖1所示，若a是方程2x+x=0的實(shí)數(shù)根，b是方程log2x+x=0的實(shí)數(shù)根，c是方程log2x-=0的實(shí)數(shù)根，則輸出x的值是______.

分析：根據(jù)算法的流程圖確定該程序的目的是三個(gè)數(shù)逐個(gè)比較輸出最大值，借助方程與函數(shù)的關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像關(guān)系來(lái)確定，通過(guò)交匯來(lái)考查相關(guān)知識(shí).

解：根據(jù)題意知，該算法的流程圖的目的是三個(gè)數(shù)逐個(gè)比較輸出最大值，而三個(gè)方程均不能直接求解，可以借助于函數(shù)的圖像來(lái)分析.如圖2，在同一坐標(biāo)系中作出y=2x，y=log2x與y=-x的圖像，可得a＜0，0＜b＜1，而在同一坐標(biāo)系中作出y=logx與y=的圖像，可得c＞1，所以a＜b＜c，故

圖1

圖2

2輸出的是c.

好題點(diǎn)睛：本題主要考查算法的流程圖，函數(shù)與方程的關(guān)系，函數(shù)的圖像與性質(zhì).這是一個(gè)綜合算法、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識(shí)的交匯試題，通過(guò)分析流程圖得出所要解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，增加了試題難度，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，堅(jiān)持多角度考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求.

二、算法與不等式的交匯

算法與不等式交匯主要是以算法的流程圖為背景來(lái)考查函數(shù)、不等式的相關(guān)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)相應(yīng)的流程圖來(lái)確定函數(shù)關(guān)系式，綜合不等式的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決創(chuàng)新問(wèn)題.

好題2 圖3是由所輸入的x值計(jì)算y值的一個(gè)算法程序，若x依次取數(shù)列｝（n∈N*，n≤2018）的項(xiàng)，則所得y值中的最小值為_(kāi)_____.

分析：正確理解相應(yīng)的算法程序，并將而轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分段函數(shù)，結(jié)合基本不等式與函數(shù)式的求解來(lái)解決最值問(wèn)題.

解：根據(jù)算法程序可知，

圖3

那么當(dāng)n=22時(shí)，此時(shí)x=44，y取得最小值442+2×44-6=2018.

好題點(diǎn)睛：本題綜合了算法初步知識(shí)，函數(shù)中的分段函數(shù)問(wèn)題，以及基本不等式的應(yīng)用等，通過(guò)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯與綜合來(lái)創(chuàng)新問(wèn)題，達(dá)到考查能力與應(yīng)用的目的.

三、算法與概率的交匯

算法與概率交匯主要是算法的流程圖為背景考查相應(yīng)的概率相關(guān)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)相應(yīng)的流程圖來(lái)處理對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)據(jù)信息利用概率定義、公式等來(lái)解決概率的相關(guān)問(wèn)題.

好題3 在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，規(guī)則如流程圖4所示，則能輸出數(shù)對(duì)（x，y）的概率為_(kāi)_____.

分析：通過(guò)算法的流程圖的識(shí)別，結(jié)合對(duì)平面區(qū)域的確定以及對(duì)應(yīng)面積的計(jì)算，利用幾何概型的概率公式來(lái)求解對(duì)應(yīng)的概率.

圖4

而x2+y2≤1表示單位圓及其內(nèi)部區(qū)域.

好題點(diǎn)睛：本題主要通過(guò)算法與概率的交匯來(lái)達(dá)到創(chuàng)新的目的.對(duì)算法、概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)，往往有打破知識(shí)條塊系統(tǒng)的限制，串點(diǎn)成線，尋找合適的知識(shí)載體來(lái)達(dá)到交匯與綜合的題目，此類問(wèn)題具有方法的多樣性，思維的靈活性，能力的綜合性等，將有利于提高學(xué)習(xí)效益.

四、算法與統(tǒng)計(jì)的交匯

算法與統(tǒng)計(jì)交匯主要是以算法的流程圖為背景考查相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)相應(yīng)的流程圖來(lái)處理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)問(wèn)題.

好題4 2017年，對(duì)某公司生產(chǎn)的H7N9流感試驗(yàn)疫苗種植后進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，造成多人出現(xiàn)過(guò)敏癥狀.下面是某地區(qū)有過(guò)敏癥狀人數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

地區(qū)i 1 2 3 4 5 6 7過(guò)敏人數(shù)x i（個(gè)）9 0 9 4 8 8 9 5 8 7 8 6 9 0

為了對(duì)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對(duì)某特征數(shù)s的計(jì)算的算法流程圖如圖5所示（其中x是這7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)），則輸出的s是______.

分析：通過(guò)算法的流程圖的識(shí)別，題目中的某特征數(shù)s實(shí)際上就是該組數(shù)據(jù)的方差，結(jié)合方差的計(jì)算公式加以處理，也可以直接根據(jù)流程圖中的循環(huán)過(guò)程加以運(yùn)算.

解：由算法流程圖知，題目中的某特征數(shù)s實(shí)際上就是該組數(shù)據(jù)的方差，而=90，

好題點(diǎn)睛：本題綜合了統(tǒng)計(jì)與算法的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)別、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析與運(yùn)算，算法流程圖的應(yīng)用等，并通過(guò)算法流程圖來(lái)確定某特征數(shù)s實(shí)際上就是該組數(shù)據(jù)的方差，進(jìn)而綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)加以交匯與應(yīng)用.

圖5

五、算法與數(shù)列的交匯

算法與數(shù)列交匯主要是以算法的流程圖為背景來(lái)考查數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)相應(yīng)的流程圖來(lái)確定數(shù)列的定義、性質(zhì)、公式等問(wèn)題.

好題5 閱讀如圖6所示的算法流程圖，則輸出的S的值是______.

分析：通過(guò)算法的流程圖的識(shí)別，根據(jù)計(jì)數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律確定其功能是數(shù)列的求和問(wèn)題，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與三角函數(shù)值的規(guī)律加以運(yùn)算.

圖6

好題點(diǎn)睛：本題主要通過(guò)算法與數(shù)列的交匯來(lái)達(dá)到創(chuàng)新的目的.由于數(shù)列中的等差數(shù)列與等比數(shù)列都是規(guī)律性比較強(qiáng)的數(shù)列，這非常適合用循環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)算法，以解決有關(guān)的數(shù)列問(wèn)題.注意兩者的轉(zhuǎn)化交匯點(diǎn)處的理解與應(yīng)用.本題融合了三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)值、數(shù)列求和、算法流程圖等知識(shí)，試題背景一般，綜合性強(qiáng)，難度一般，是一類比較典型的交匯問(wèn)題.

算法是新課標(biāo)的一扇“窗口”，備考中應(yīng)對(duì)其應(yīng)用加以理解和掌握.算法知識(shí)與其他知識(shí)的結(jié)合與交匯將是高考的重點(diǎn)，也恰恰體現(xiàn)了算法的普遍性、工具性，當(dāng)然難度不會(huì)太大，重在算理、算法及其思想.W