立足根本，枝繁葉茂
——一道“解三角形試題”的解法探究

☉浙江省諸暨學勉中學 潘 波

近年浙江高考數(shù)學的“解三角形”問題逐漸成型，考查學生的方向也尤為明朗，如考查內(nèi)容離不開“兩個定理，三個公式”，但題型的呈現(xiàn)變化莫測，為尋找一條有效的解題途徑，讓學生面對此類問題能有的放矢，化解自如，我們從一道“解三角形試題”的解法開始談起.

一、眾里尋它千百度——選題

“一題可破萬題山”.選擇一道合適的“題”，能夠幫助學生明晰概念，掌握方法，所以，抓住一道好題，讓學生尋求多種解題途徑，促使學生的思維向多方位發(fā)散，這比題海戰(zhàn)術(shù)更為有效.

例題 已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ccosA-acosC=2b.

（2）若c=3，求△ABC面積的最大值.

評點：例題的已知條件“ccosA-acosC=2b”為邊角的關(guān)系，可以從多角度思考展開，如邊化角，角化邊，因其形式上類似射影定理“ccosA+acosC=b”，所以還可以結(jié)合射影定理展開思路，從構(gòu)造直角三角形入手，它很好地運用正弦、余弦定理解題，從課本定理本源出發(fā)，從引申的結(jié)論出發(fā)，無不是一個好背景.一題多解，發(fā)散學生的思維，促進學生數(shù)學思維的活躍性.選擇本題，能夠達到“解一題等于解一類‘三角’問題”的效果.

二、不畏浮云遮望眼——解題

“授人以魚不如授人以漁”.數(shù)學家蘇步青教授曾說：“學習數(shù)學要多做題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”通過解一道題，加以思索，總結(jié)方法，“知其所以然”，不管題型如何變化，總可以尋找到一個或多個思考的方向.

解法1（邊化角）：（1）由正弦定理及已知條件可知，

sinCcosA-sinAcosC=2sinB=2sin（A+C）=2（sinAcosC+sinCcosA），則sinCcosA=-3sinAcosC，

△ABC

圖1

評點：已知邊角的關(guān)系，因為所求的目標為角，一般將等式中的邊利用正弦定理化為角，便于運算；對（2）中的邊化角角度求面積問題，運算簡潔，易懂，其根本還在于構(gòu)造直角三角形，這與課本中提供的構(gòu)造直角三角形證明正弦、余弦定理相符.

（2）由（1）得c2=a2+2b2，則2abcosC=a2+b2-c2=-b2，

評點：已知邊角的關(guān)系，一般說來，邊化角法可解，角化邊法亦可解，原因是正弦定理、余弦定理是可以互證的，只是有時不同方法選擇有易有難，所以更多時候要求選擇更簡潔方便的方法解題，而求三角形面積問題，要從三角形面積的一些相關(guān)公式入手，如海倫公式等，同時其根本還是將面積中的邊角統(tǒng)一轉(zhuǎn)化.

解法3（射影定理）：（1）如圖1，過B作BD⊥AC于D，由射影定理ccosA+acosC=b.又已知ccosA-acosC=2b，則ccosA=，所以ccosA=-3acosC，于是sinC·cosA=-3sinA·cosC.

評點：正弦定理、余弦定理的推論，得射影定理ccosA+acosC=b，此為課本課后的習題，可以結(jié)合幾何意義來運用，其根本還在于構(gòu)造直角三角形，將一般三角形特殊化，簡化問題.

解法4（構(gòu)造直角）：（1）由題意得，角C為鈍角，如圖2，過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D，則|AD|+|CD|=2b.又由圖2易知，|AD|-|CD|=b，于是

（2）如圖2，分別過點C，D作AB的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，

圖2

在Rt△ABD中，由射影定理得|DF|2=|AF|·|BF|.

另解：由上述可知S△ABC=|DF|，易知點D在以AB為直徑的圓上，如圖3，于是，所以

圖3

評點：因正弦定理、余弦定理的“根本”在于構(gòu)造直角，特別是（2）中的另解，結(jié)合圓處理方便簡潔，這也是在圓上證明正弦定理所派生出來的解題思路.

解法5（向量轉(zhuǎn)化）：（1）如圖4，以A為原點，建立直角坐標系，則A（0，0），B（3，0），設(shè)D（x，y）.

圖4

所以x·（x-3）+y2=0，即x2+y2=3x.

（2）由（1）得到x·（x-3）+y2=0，則y= ■ x · （x-3），其中0＜x＜3，則y≤.

解法6（向量轉(zhuǎn)化）：（1）由已知ccosA-acosC=2b，

則bccosA-bacosC=2b2，

因為c2-a2=2b2，c=3，

評點：正弦定理、余弦定理的證明可以用向量法輕松證明，所以很好地給了我們向量方法的解題思路，而且也非常簡潔，特別是（2）對面積的轉(zhuǎn)化，將面積轉(zhuǎn)化為S△ABC=y，后面的問題也就迎刃而解了，很成功，很有效.

三、接天蓮葉無窮碧——變式

高考試題的特點為“源于教材，但又略高于教材”.所以我們不能孤立于課本的教學，甚至不能運用題海戰(zhàn)術(shù)盲目地做題，而要學會對課本上的例題、習題做適當?shù)母木?編題可以運用多種方法，如推廣引申法、逆向思維法、極端原理法、知識重組法等，讓學生在開放的題海中感受解題.

變式1：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ccosA=-3acosC，tanA=，求tanB的值.

變式2：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC-ccosA=b，求tan（A-C）的最大值.

變式3：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ccosA=2b，求的值.

變式5：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosB=b+c，求的取值范圍.

變式6：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ccosA-acosC=2b，若△ABC面積的最大值為求c的值.

變式7：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ccosA-acosC=2b，若△ABC面積為，求c的最小值.

評點：變式1中等價改變條件，而實際上“ccosA=-3acosC”等價于“ccosA-acosC=2b”，由上述解答可知已知tanA必可求tanC，于是tanB的值也就可以確定了；變式2中，不給tanA的值，但tan（A-C）會存在最大值；變式3，4，5都是改變已知條件，特別是變式4的已知條件確定角B此時的存在范圍，變式5的已知條件用了2016年的考題條件，可確定A，B兩角的關(guān)系，方可求的取值范圍；變式6和7調(diào)換未知與已知，變式6若給出三角形面積的最大值，則也就確定了邊c，倘若只是確定三角形的面積，此時會存在邊c的最小值.這些變化的解法還是離不開以上給出的方法，同時也很好地呈現(xiàn)了本塊知識的考點，所以題目不管如何變化，方法得當，迎刃而解！

“映日荷花別樣紅”.數(shù)學是思維的體操，啟迪思維是數(shù)學教學的核心，是否有利于啟迪思維可以作為判斷一道數(shù)學題好壞的依據(jù).上述題很好地綜合了解三角形章節(jié)的所有知識和方法，思維和能力，同時能緊扣數(shù)學概念本質(zhì)，立足知識的“根本”將原題進行變式，多角度，全方位挖掘概念內(nèi)涵，必能達到“枝繁葉茂”的效果.W