構造問題 分析問題 解決問題
——例談構造法解題的探究

☉山東省肥城市第六高級中學 桑圣一

在解決數學問題的過程中，構造跟原問題有關的數學模型并通過模型的研究而獲得解題的方法即為數學構造法，借助某一類我們熟知的問題性質進行未知問題性質的探究是數學構造法的基本原理.

一、幾種常見的構造法

1.構造圖形法

數學問題的本質往往可以通過數量關系中所隱藏的形的信息得以形象而直觀地反映，數與形往往會在圖形構造的過程中得以關聯到一起并因此將問題表達得更加明朗而清晰.

解法1（一般方法）：根據題意，有

解法2（構造法）：根據題意可知，△ABC的底邊是定值，高是變化的，由三角形的面積公式可以推斷要求△ABC面積的最大值，只要對點A進行研究即可.如圖1，構造平面直角坐標系，令B（-1，0），C（1，0），設A（x，y），則=（-1-x，-y），=（1-x，-y），

即x2+y2=2，

由余弦定理，得4=b2+c2-2，即b2+c2=6，

所以6=b2+c2≥2bc，即bc≤3，

圖1

△ABC

根據圓的特點，hmax=r=，所以S△ABC≤.

2.構造函數法

構造函數并利用函數的性質解題的方法即為函數構造法.

例2 對于任意x∈R，不等式2x2-a+3＞0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析：直接研究不等式左邊的條件往往會令學生感覺困難，因此，對不等式進行等價處理才是解題首先應該處理的環節.

令（fu）=2u2-au+1（u≥1），

所以a＜3.

因為f（t）在［1，+∞）上為單調增函數，

所以f（t）≥f（1）=3，即f（t）min=3，所以a＜3.

過程不同的兩個方法實質上都是構造函數并在研究函數性質的過程中令問題順利得解的.

3.構造向量法

包含坐標運算與圖形運算的向量知識在高中數學的解題過程中是一個相當重要的工具.因此，很多高中數學問題都會因為向量知識而得到更加快捷的解答.

令，m，n兩向量不共線，則有|y|=||m|-|n||≤|m-n|=，即|y|≤，所以y∈［-，］.

4.構造方程法

如果能在解題過程中找出已知和未知之間的等式關系，并且觀察出其具備方程的某些特性，具體解題時就可以考慮構造方程來解決這一數學問題.

例4 已知a，b，c滿足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，得

a（9-a-b）+（9-a-b）b+ab=24，整理得a2+（b-9）a+b2-9b+24=0.

將上述方程視為關于a的二次方程，此問題即變成了二次方程有實數解，則有（b-9）2-4（b2-9b+24）≥0，解之，得b∈［1，5］.

5.構造等價命題法

一些直接論證相對困難的數學命題往往可以在構造命題的否命題中來解決.

例5 已知命題“?x∈［1，2］，使x2+2x+a≥0”為假命題，則a的取值范圍如何？

解：根據題意可知，該命題的否定形式“?x∈［1，2］，使x2+2x+a＜0”是真命題.這與x2+2x+a＜0對x∈［1，2］恒成立是等價的，也就是與a＜-（x2+2x）對x∈［1，2］恒成立是等價的.

設f（x）=-（x2+2x）=-（x+1）2+1，

所以f（x）min=f（1）=-3.所以a＜3.

二、教學感悟

1.培養學生的閱讀能力

構造法的順利構建、實施與學生的創造性思維是緊密相關的，學生必須具備較強的“讀題”能力才會對題目本身形成更加獨到的領悟與想法.因此，教師在構造法解題教學的過程中首先要重視學生閱讀能力的培養，有意識地指導學生進行正確的數學閱讀并使其在數學閱讀中提升理解能力，把一部分“機械讀題”的習慣進行修正并使學生盡快實現“意義讀題”，只有這樣，學生才能在題目意義的理解中挖掘出解題所需要的隱蔽條件并獲得解題的第一步突破.

2.培養學生綜合知識的能力

構造法解題不僅對學生的閱讀能力提出了較高的要求，對學生綜合知識的能力一樣如此，學生只有在理解題目意圖并順利建構知識點之間關聯的基礎上才能順利解題.因此，教師在復習教學中一定要重視知識點之間的關聯并將其縱向、橫向之間的聯系進行梳理與體現，使學生能夠明了知識點間的外在與內在聯系并獲得解題的第二步突破.例如，貫穿高中整個數學學習過程的函數知識是很多知識點都能與之關聯的，教師在具體教學中就應將其經常與其他知識點進行關聯性的訓練，學生在這種有意義的訓練下往往能夠更好地對知識點進行重組與概括，知識點的延伸功能也會因此得以更好地彰顯，這對于構造法解題來說是極有意義且關鍵的.

3.培養學生的發散思維

構造法解題還需要學生能夠對問題展開多角度的思考，學生的發散性思維在構造法解題過程中的重要性也就非常明顯了，因此，教師應從多方面入手對學生的發散思維進行訓練.比如，教師應該對數學命題的發散性多加關注，可以對命題的條件、結論進行改變并引導學生在不斷的變化中展開積極的思考、歸納與概括，使學生從不同角度對數學本質形成更加深刻而綜合的認識.我們數學教師都極為重視的變式訓練實質上就是對學生解題方法發散的訓練，多角度的研究與解決是培養學生發散思維的重要途徑，也是構造法解題訓練必不可少的重要手段.

總之，構造法解題對于學生分析問題、解決問題、構造新問題的能力均提出了較高的要求，從其本質講，這是一種探究與創新思維的體現，學生的學習能力與熱情都會因為構造法解題的掌握而獲得更好的發展.W