運用不同解法，開拓思維深度*
——以二面角的平面角常見解法為例

☉江蘇省宿遷中學 張滿成

尋求二面角的平面角是立體幾何學習中的難點之一，解決二面角問題的關鍵是作出二面角的平面角，可使空間問題轉化為平面問題來解決.下面結合實例，就初學二面角的平面角時常見的求解策略加以剖析.

一、定義法

根據二面角的平面角的定義，在棱l上取一點A，分別在兩個半平面α，β內作AB⊥l，AC⊥l，則∠BAC即為二面角α-l-β的平面角.

例1 在四面體ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB=AC=，BC=2，求以BC為棱、以平面BCD和平面BCA為面的二面角的大小.

圖1

分析：關鍵是取BC的中點E，利用三角形中的各邊的關系，確定垂直關系，從而結合定義判定∠AED為二面角A-BC-D的平面角，進而利用三角形全等以及直角三角形中的各邊之間的關系求解對應的角度問題.

解：如圖1，取BC的中點E，連接AE，DE.

因為AB=AC，所以AE⊥BC.

又因為△ABD≌△ACD，AB=AC，AD=AE，

所以DB=DC，所以DE⊥BC.

所以∠AED為二面角A-BC-D的平面角.

又因為△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC為底的等腰三角形，△DBC也是以BC為底的等腰三角形，

又△ABD≌△DBC，所以AD=BC=2，

所以AD2=AE2+DE2，所以∠AED=90°，

故以平面BCD和平面ABC為面的二面角的大小為90°.

點評：利用定義確定二面角的平面角時，關鍵是找到棱上對應的點，這樣可以在相應的兩個半平面內準確找到與棱垂直的直線，進而確定二面角.往往此類問題與三角形問題的求解緊密結合在一起來考查.

二、垂線法

根據線面垂直的判定與性質，已知二面角α-l-β，若P∈α，可過P作PB⊥β于B，過B作BA⊥l于A，連接PA（或過P作PA⊥l于A，連接BA），則∠PAB為二面角α-l-β的平面角.

例2 如圖2，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別為AB，PC的中點.

（1）證明：AB⊥MN；

（2）連接AC，取AC的中點O，證明：平面MNO⊥平面PDC.

分析：對于（1），通過線面垂直以及矩形的性質，把線面垂直與線線垂直加以轉化證明；對于（2），關鍵是利用垂線法，確定平面PDC與平面ABCD所成的角，并結合三角形全等以及線線垂直、線面垂直來證明面面垂直問題.

證明：（1）因為N為PC的中點，O為AC的中點，

所以ON∥PA.

而PA⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD，

所以ON⊥AB.

又四邊形ABCD為矩形，M為AB的中點，

所以OM⊥AB，

所以AB⊥平面OMN，所以AB⊥MN.

（2）由（1）知，AB⊥平面OMN，CD∥AB，所以CD⊥平面OMN，CD?平面PCD，所以平面MNO⊥平面PCD.

圖2

點評：在利用垂線法求解有關二面角的平面角問題時， 關鍵是注意 “作”（即作垂線）、“連”（連線段）、“證”（證線線垂直），從而確定對應的二面角問題.特別地，對于兩個平面相交，有過一個平面內的一點與另一個平面垂直的垂線，只要過這一點向棱作垂線，連接兩個垂足，即找到對應的二面角.

三、垂面法

根據二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面，可過空間任意一點作平面γ⊥l交l于P點，則γ與兩個半平面α，β的交線，即射線PA，PB所成的∠APB即為二面角α-l-β的平面角.

例3 如圖3，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.

（1）求證：AB⊥BC；

（2）若設二面角S-BC-A為45°，SA=BC，求二面角A-SC-B的大小.

分析：對于（1），通過面面垂直、線面垂直、線線垂直三者之間的轉化加以分析與證明；對于（2），結合平面SAB同時垂直于相應的兩個平面加以判定對應的二面角的平面角問題，再結合垂線法來求解對應的二面角問題.

解：（1）證明：作AH⊥SB于H.

因為平面SAB⊥平面SBC，所以AH⊥平面SBC.

又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC，SA在平面SBC上的射影為SH，所以BC⊥SB.

又SA∩SB=S，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AB.

（2）因為SA⊥平面ABC，所以平面SAB⊥平面ABC.

又平面SAB⊥平面SBC，所以∠SBA為二面角S-BCA的平面角，所以∠SBA=45°.

設SA=AB=BC=a，作AE⊥SC于E，連接EH，

圖3

所以sin，二面角A-SC-B為60°.

點評：以上求解二面角的平面角問題中，尋找二面角S-BC-A的平面角時用的是垂面法，而在尋找二面角A-SC-B的平面角時用的是垂線法，關鍵是結合題目中的相關條件，數形結合并結合相關的方法處理相應的二面角的平面角問題.

四、射影法

例4 如圖4，已知圓錐P-ABC的軸截面PAB是等腰直角三角形，O為底面圓的圓心，C是底面圓周上異于A，B的任意一點.若二面角A-OP-C的平面角大小為90°，試求二面角A-PC-B的余弦值.

分析：根據二面角的定義先來確定∠AOC就是二面角的平面角，則∠AOC=90°，即OC⊥AB.根據對稱性，通過設置圓O的半徑R，結合射影面積公式的轉化與求解，并利用二倍角公式來分析與轉化，進而達到求解二面角的平面角的目的.

圖4

解：由已知條件可得PO⊥平面ABC，

而二面角A-OP-C的大小為90°，根據二面角的定義可得∠AOC=90°，則有OC⊥AB.

根據立體幾何中的對稱性，可得二面角A-PC-B的平面角為θ.

設底面圓O的半徑為R，根據題目條件可得PA=PB=PC=AC=R，

點評：在涉及方便求解二面角的一個半平面內某個多邊形（一般為三角形）的面積的前提條件下，只要通過條件求解該多邊形在另一個半平面內射影的面積，利用射影法來解決有關二面角的平面角問題，往往可以簡化求解過程，快捷處理問題.

綜上分析，定義法、垂線法、垂面法和射影法是四類比較常見的求解二面角的平面角的幾何方法.其實隨著后繼學習的深入，還有其他的方法可以用來解決此類問題.解決立體幾何中的二面角問題，要善觀察，勤動腦，多總結，抓住問題的特征，尋找轉化途徑，找出適當的方法，關于二面角的平面角的求解問題就會迎刃而解.W